Dada
, encontre
vetor velocidade e aceleração.
Passo 1
O enunciado dá a função vetor
e pede duas coisas: encontrar o vetor velocidade e o vetor aceleração associados a
. As informações relevantes que temos são as três componentes de
: a primeira componente é
, a segunda é
e a terceira é
. A variável independente é
.
Passo 2
Definição e ideia: o vetor velocidade é a derivada de
em relação a
. Ou seja, se chamarmos o vetor velocidade de
, então
Para derivar uma função vetor, derivamos cada componente separadamente (isso é uma regra básica: a derivada de
é
). Também vamos usar a regra de potência para derivadas: para todo inteiro positivo
,
Aqui cada componente de
é uma potência simples de
, então aplicamos essa regra.
Passo 3
Derivando componente a componente para obter
:
- Derivada da primeira componente
:
pois
e
.
- Derivada da segunda componente
:
- Derivada da terceira componente
:
Portanto o vetor velocidade é
Passo 4
Definição e ideia para aceleração: o vetor aceleração é a derivada do vetor velocidade em relação a
. Podemos chamá-lo de
; então
Novamente, derivamos componente a componente. Aplicamos a regra de potência quando necessário.
Passo 5
Derivando componente a componente para obter
:
- Derivada da primeira componente de
, que é :
- Derivada da segunda componente de
, que é :
(é a constante
multiplicando
, e
).
- Derivada da terceira componente de
, que é :
(usamos a regra de potência:
, multiplicado por
).
Portanto o vetor aceleração é
Passo 6
Interpretação rápida e exemplo numérico (para te animar):
dá a direção e a rapidez instantânea da curva
no tempo
. Por exemplo, em
,
ou seja, inicialmente o movimento é só na direção
. E
ou seja, a velocidade está aumentando na direção
naquele instante.