Dada r(t)=\left(t, t^{2}, t^{3}\right), encontre o vetor velocidade e aceleração.

Passo 1

O enunciado dá a função vetor
r(t)=\left(t,\;t^{2},\;t^{3}\right)
e pede duas coisas: encontrar o vetor velocidade e o vetor aceleração associados a r(t). As informações relevantes que temos são as três componentes de r(t): a primeira componente é t, a segunda é t^{2} e a terceira é t^{3}. A variável independente é t.

Passo 2

Definição e ideia: o vetor velocidade é a derivada de r(t) em relação a t. Ou seja, se chamarmos o vetor velocidade de \mathbf{v}(t), então
\mathbf{v}(t)=\frac{d}{dt}r(t).
Para derivar uma função vetor, derivamos cada componente separadamente (isso é uma regra básica: a derivada de (f_{1}(t),f_{2}(t),f_{3}(t)) é (f_{1}'(t),f_{2}'(t),f_{3}'(t))). Também vamos usar a regra de potência para derivadas: para todo inteiro positivo n,
\frac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{n-1}.
Aqui cada componente de r(t) é uma potência simples de t, então aplicamos essa regra.

Passo 3

Derivando componente a componente para obter \mathbf{v}(t):
  • Derivada da primeira componente t:
\frac{d}{dt}t = 1,
pois t=t^{1} e \frac{d}{dt}t^{1}=1\cdot t^{0}=1.
  • Derivada da segunda componente t^{2}:
\frac{d}{dt}t^{2}=2\,t^{1}=2t.
  • Derivada da terceira componente t^{3}:
\frac{d}{dt}t^{3}=3\,t^{2}=3t^{2}.
Portanto o vetor velocidade é
\mathbf{v}(t)=\left(1,\;2t,\;3t^{2}\right).

Passo 4

Definição e ideia para aceleração: o vetor aceleração é a derivada do vetor velocidade em relação a t. Podemos chamá-lo de \mathbf{a}(t); então
\mathbf{a}(t)=\frac{d}{dt}\mathbf{v}(t)=\frac{d^{2}}{dt^{2}}r(t).
Novamente, derivamos componente a componente. Aplicamos a regra de potência quando necessário.

Passo 5

Derivando componente a componente para obter \mathbf{a}(t):
  • Derivada da primeira componente de \mathbf{v}(t), que é 1:
\frac{d}{dt}1 = 0.
  • Derivada da segunda componente de \mathbf{v}(t), que é 2t:
\frac{d}{dt}(2t) = 2.
(é a constante 2 multiplicando t, e \frac{d}{dt}t=1).
  • Derivada da terceira componente de \mathbf{v}(t), que é 3t^{2}:
\frac{d}{dt}(3t^{2}) = 3\cdot 2t = 6t.
(usamos a regra de potência: \frac{d}{dt}t^{2}=2t, multiplicado por 3).
Portanto o vetor aceleração é
\mathbf{a}(t)=\left(0,\;2,\;6t\right).

Passo 6

Interpretação rápida e exemplo numérico (para te animar): \mathbf{v}(t) dá a direção e a rapidez instantânea da curva r(t) no tempo t. Por exemplo, em t=0,
\mathbf{v}(0)=\left(1,0,0\right),
ou seja, inicialmente o movimento é só na direção x. E
\mathbf{a}(0)=\left(0,2,0\right),
ou seja, a velocidade está aumentando na direção y naquele instante.

Resposta

\mathbf{v}(t)=\left(1,\;2t,\;3t^{2}\right)
\mathbf{a}(t)=\left(0,\;2,\;6t\right)

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