O que é um campo escalar? Explique com exemplos.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos o que é um campo escalar e apresentarmos exemplos. Esse tópico faz parte de cálculo vetorial ou análise de campos, onde trabalhamos com funções de várias variáveis que atribuem valores escalares a cada ponto de um domínio em \mathbb{R}^n.

Passo 2

Formalmente, seja U\subset\mathbb{R}^n um conjunto (tipicamente aberto). Um campo escalar é uma função
f \colon U \to \mathbb{R}
que a cada ponto \mathbf{r}=(x_1,x_2,\dots,x_n)\in U associa um único valor escalar f(\mathbf{r}).
Em outras palavras, enquanto em um campo vetorial cada ponto se associa a um vetor, em um campo escalar cada ponto gera apenas um número real.

Passo 3

Um exemplo físico muito comum é a temperatura distribuída no espaço. Por exemplo, um campo escalar tridimensional
T(x,y,z) \;=\; 20 \;-\;\frac{x^2 + y^2 + z^2}{10}
pode representar, em graus Celsius, a temperatura no ponto de coordenadas (x,y,z). Aqui o domínio pode ser todo \mathbb{R}^3 ou uma região limitada do espaço.

Passo 4

Outro exemplo é a pressão atmosférica sobre a superfície terrestre. Num modelo simplificado podemos ter
P(x,y) \;=\; P_0 \,e^{-\,\alpha\,h(x,y)},
onde h(x,y) é a altitude do terreno em (x,y), P_0 é a pressão ao nível do mar e \alpha uma constante de decaimento. Novamente, P atribui um valor escalar (pressão) a cada ponto (x,y).

Passo 5

No contexto gravitacional, o potencial gravitacional gerado por uma massa M localizada em \mathbf{r}_0 é também um campo escalar definido por
V(\mathbf{r}) = -\,G\,\frac{M}{\|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\|},
onde G é a constante gravitacional e \|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\| a distância entre \mathbf{r} e \mathbf{r}_0.

Resposta

Um campo escalar é uma função f\colon U\subset\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} que atribui a cada ponto do domínio um valor numérico (um escalar). Exemplos clássicos são a distribuição de temperatura T(x,y,z), a pressão P(x,y) sobre um terreno e o potencial gravitacional V(\mathbf{r}).

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