Sabendo que \frac{d P}{d z}=-\rho g, obtenha o comportamento da pressão em função da profundidade para um fluido incompressivel. Interprete o resultado obtido.

Passo 1

O enunciado dá a equação
\frac{dP}{dz} = -\rho g
para um fluido incompressível (ou seja, \rho constante). Aqui z é a coordenada vertical (positiva para cima), P é a pressão e g é a aceleração da gravidade. O objetivo é encontrar P(z) aplicando integração e depois interpretar o resultado.

Passo 2

Como \rho e g são constantes, fazemos a integração direta:
\int dP = -\rho g \int dz
Isso leva a
P(z) = -\rho g\,z + C
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Para achar C, usamos uma condição de contorno típica: na superfície livre do fluido, em z = z_0, a pressão vale P_0. Assim,
P_0 = -\rho g\,z_0 + C \quad\Longrightarrow\quad C = P_0 + \rho g\,z_0.
Substituindo em P(z), obtemos
P(z) = P_0 + \rho g\,(z_0 - z).

Passo 4

Definindo a profundidade h = z_0 - z (positiva para baixo), a expressão fica mais intuitiva:
P = P_0 + \rho g\,h.

Passo 5

Interpretação: a pressão aumenta linearmente com a profundidade h, com coeficiente \rho g. Fisicamente, isso ocorre porque cada camada de fluido exerce seu peso sobre a camada abaixo, e numa coluna de área unitária o peso é \rho g\,h.

Resposta

P = P_0 + \rho g\,h

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