Qual a diferença entre um derivada ordinária, \frac{d}{d t}, e uma derivada parcial, \frac{\partial}{\partial t} ?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a diferença entre a derivada ordinária \tfrac{d}{dt} e a derivada parcial \tfrac{\partial}{\partial t}. O conteúdo aqui é o conceito de derivação em funções de uma variável versus funções de várias variáveis. Para responder, vamos precisar lembrar como se define cada tipo de derivada e em que contexto cada uma é usada.

Passo 2

Derivada ordinária aparece quando temos uma função que depende de uma única variável, digamos t. Se f é uma função de t só, escrevemos
f = f(t).
A derivada ordinária é então
\frac{d}{dt}f(t) =\lim_{\Delta t \to 0}\frac{f(t+\Delta t)-f(t)}{\Delta t},
e mede a taxa de variação de f em relação a t, sem se preocupar com mais nenhuma outra variável.

Passo 3

Derivada parcial é usada quando a função depende de várias variáveis, por exemplo x,y,t. Se
g = g(x,y,t),
a derivada parcial de g em relação a t é
\frac{\partial}{\partial t}g(x,y,t) =\lim_{\Delta t \to 0}\frac{g(x,y,t+\Delta t)-g(x,y,t)}{\Delta t},
e mede a variação de g ao mudar só t, mantendo x e y fixos.

Passo 4

Quando uma função realmente só depende de t, ou seja, h(t)=g(x_0,y_0,t) para x_0,y_0 constantes, ambas as derivadas coincidem:
\frac{d}{dt}h(t) = \frac{\partial}{\partial t}g(x_0,y_0,t).
Mas se g variar também com x ou y, a derivada ordinária não se aplica porque haveria ambiguidade sobre como x e y mudam.

Passo 5

Resumindo a intuição:
  • \tfrac{d}{dt} guarda a ideia de “funcão de uma variável só”.
  • \tfrac{\partial}{\partial t} deixa claro que a função tem várias variáveis e que só queremos a variação em t, segurando as demais fixas.

Resposta

A derivada ordinária \tfrac{d}{dt} é usada quando a função depende unicamente de t, enquanto a derivada parcial \tfrac{\partial}{\partial t} é usada quando a função depende de várias variáveis e queremos a taxa de variação apenas em relação a t, mantendo as outras constantes.

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