Utilizando como exemplo um baralho, explique como a entropia pode estar relacionado com a probabilidade de encontrar estados ordenados ou desordenados em um sistema.

Passo 1

O enunciado nos pede para usar um baralho de 52 cartas como exemplo a fim de ilustrar a relação entre entropia e a probabilidade de encontrar estados ordenados ou desordenados em um sistema. O conteúdo central é a entropia de Boltzmann, que conecta o número de microestados de um macroestado à sua probabilidade de ocorrência.

Passo 2

Precisamos distinguir macroestado e microestado. Um macroestado é uma descrição “grosseira” do sistema — por exemplo, “baralho perfeitamente ordenado” ou “baralho embaralhado”. Cada microestado é um arranjo específico das 52 cartas. O número total de microestados possíveis de um baralho é dado por
\Omega_{\text{total}} = 52!
pois estamos permutando 52 objetos distintos.

Passo 3

O macroestado “baralho perfeitamente ordenado” corresponde a exatamente
\Omega_{\text{ordenado}} = 1
microestado (o arranjo único em que as cartas estão em ordem). Já o macroestado “baralho desordenado” agrupa todos os demais arranjos, ou seja,
\Omega_{\text{desordenado}} = 52! - 1
A probabilidade de cada macroestado em um embaralhamento aleatório é
P = \frac{\Omega}{\Omega_{\text{total}}}\,.
Portanto,
P_{\text{ordenado}} = \frac{1}{52!}, \quad P_{\text{desordenado}} = \frac{52! - 1}{52!} \approx 1.

Passo 4

Pela fórmula de Boltzmann, a entropia de um macroestado é
S = k \ln \Omega\,,
onde k é a constante de Boltzmann e \Omega o número de microestados. Assim:
S_{\text{ordenado}} = k \ln 1 = 0, \qquad S_{\text{desordenado}} = k \ln(52! - 1) \approx k \ln(52!).
Como \ln(52!) é um número enorme, o estado desordenado tem entropia muito maior que o estado ordenado.

Resposta

A entropia mede o logaritmo do número de microestados de um macroestado. No exemplo do baralho, o estado ordenado tem apenas um microestado ( S=0) e probabilidade 1/52!, enquanto o estado desordenado reúne praticamente todos os 52! - 1 microestados ( S\approx k\ln(52!)) e tem probabilidade praticamente igual a 1.

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