Em um campo de escoamento a equação que define o vetor posição de uma partícula fluida é dada por rp(t)=lang<= c1 e^a t, c2 e^-b trang<=. Mostre que a equação da trajetória da partícula situada no ponto (x, y)=(1,2) no instante t=0 é dada por y=2 x^-b / a.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a posição de uma partícula no tempo y = 2,x^-b/a é dada pelo vetor
. A gente precisa mostrar que, para a partícula que estava em quando , a curva que ela descreve no plano é
Conteúdo: funções vetoriais de tempo e eliminação de parâmetro. Vamos usar a condição inicial pra achar e , depois eliminar entre e .

Passo 2

Primeiro, a gente aplica a condição inicial em vec rp(0)=lang<= c1 e^acdot0,,c2 e^-bcdot0rang<= =lang<= c1,,c2rang<= stackrel!=lang<=1,2rang<= :
c1 = 1, c2 = 2
Daí já vemos que

Passo 3

Agora escrevemos as componentes x(t) = c1 e^a t = 1cdot e^a t = e^a t, e y(t) = c2 e^-b t = 2cdot e^-b t com esses valores:
Isso é só a função de posição separada em e .

Passo 4

Para achar a relação e^a t = x Longrightarrow a t = ln x Longrightarrow t = ln xa sem o y = 2,e^-b t = 2,e^-bl(ln xar) = 2,e^ln(x^-b/a) = 2,x^-b/a , a ideia é “inverter” a expressão de . Da primeira equação temos
Agora plugamos esse em :
Usamos a propriedade .

Passo 5

Pronto, chegamos justamente na forma da trajetória buscada:
y = 2,x^-b/a

Resposta

boxedy = 2,x^-b/a

Exercícios relacionados