Em um campo de escoamento a equação que define o vetor posição de uma partícula fluida é dada por
. Mostre que a equação da trajetória da partícula situada no ponto
no instante
é dada por
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a posição de uma partícula no tempo
é dada pelo vetor
. A gente precisa mostrar que, para a partícula que estava em
quando
, a curva que ela descreve no plano é
Conteúdo: funções vetoriais de tempo e eliminação de parâmetro. Vamos usar a condição inicial pra achar
e
, depois eliminar
entre
e
.
Passo 2
Primeiro, a gente aplica a condição inicial em
:
Daí já vemos que
Passo 3
Agora escrevemos as componentes
e
com esses valores:
Isso é só a função de posição separada em
e
.
Passo 4
Para achar a relação
sem o
, a ideia é “inverter” a expressão de
. Da primeira equação temos
Agora plugamos esse
em
:
Usamos a propriedade
.
Passo 5
Pronto, chegamos justamente na forma da trajetória buscada: