Considere o campo de escoamento , no qual a . Encontre uma expressão para o vetor posição que define a trajetória de uma partícula situada no ponto no instante .
Passo 1
Beleza, então a gente tem um campo de velocidades
com e . A gente quer achar a trajetória de uma partícula que começa em quando .
Matéria usada: equações diferenciais ordinárias (EDOs) de primeira ordem e separação de variáveis. Vai dar para resolver integrando cada componente.
Passo 2
Escrevendo a definição de trajetória:
Como dxdt = x,(1+b,t), dydt = y , fica
Passo 3
Resolver a equação de dyy = dt Longrightarrow integraldyy = integral dt ;Rightarrow; ln|y| = t + C1 : é a equação exponencial clássica.
Separamos variáveis:
Exponenciando: .
Passo 4
Agora a de dxx = (1+b,t),dt Longrightarrow integraldxx = integral(1+b,t),dt ;Rightarrow; ln|x| = t + b,t^22 + C2 : x(t) = K2 expl(t + tfracb,t^22r) .
Separação de variáveis: