Considere o campo de escoamento V=lang<= a x(1+b t), c yrang<=, no qual a =c=1 s^-1 e b=0,2 s^-1. Encontre uma expressão para o vetor posição que define a trajetória de uma partícula situada no ponto (x0, y0)=(1,2) no instante t=0.

Passo 1

Beleza, então a gente tem um campo de velocidades

com e . A gente quer achar a trajetória de uma partícula que começa em quando .
Matéria usada: equações diferenciais ordinárias (EDOs) de primeira ordem e separação de variáveis. Vai dar para resolver integrando cada componente.

Passo 2

Escrevendo a definição de trajetória:
dvec rdt = vec V(vec r,t) Longrightarrow dxdt = a,x,(1+b,t),[6pt] dydt = c,y
Como dxdt = x,(1+b,t), dydt = y , fica

Passo 3

Resolver a equação de dyy = dt Longrightarrow integraldyy = integral dt ;Rightarrow; ln|y| = t + C1 :
é a equação exponencial clássica.
Separamos variáveis:
Exponenciando: .

Passo 4

Agora a de dxx = (1+b,t),dt Longrightarrow integraldxx = integral(1+b,t),dt ;Rightarrow; ln|x| = t + b,t^22 + C2 :
x(t) = K2 expl(t + tfracb,t^22r) .
Separação de variáveis:
Exponenciando:

Passo 5

Usar as condições iniciais , :
  • Para : . Então .
  • Para : . Então .
E lembrando que , .

Resposta

boxed vec r(t) ;=;llang<=,e^,t + 0,1,t^2,;2,e^trrang<=

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