Um campo de força é representado no ponto P(8,120^circ, 5) por F=25 arho+12 aphi-20 az. Determine a componente vetorial de F que é: tangente ao cilindro rho=8.

Passo 1

Beleza, vamos por partes. O enunciado diz que em coordenadas cilíndricas, no ponto P(ρ=8, φ=120°, z=5), o campo de força é
vec F = 25,vec arho ;+; 12,vec aphi ;-;20,vec az
A pergunta quer a parte de que é tangente ao cilindro ρ=8. Isso é assunto de decomposição de vetores em coordenadas cilíndricas e projeção em superfície. Vamos usar que “tangente ao cilindro” significa tudo que não seja na direção radial .

Passo 2

Primeiro, lembra que em coordenadas cilíndricas temos três direções ortogonais:
  • : normal ao cilindro ρ=const (aponta pra fora).
  • : tangente ao cilindro, no sentido azimutal.
  • : tangente ao cilindro, na direção vertical.
    Como a superfície ρ=8 tem normal , o plano tangente é gerado por .

Passo 3

Toda força vec F = underbrace(vec Fcdotvec arho),vec arhonormal ;+;underbracel[vec F - (vec Fcdotvec arho),vec arhor]tan>=nte pode ser quebrada em componente normal e componente tangente:
vec Fcdotvec arho = 25 Longrightarrow vec Fnormal = 25,vec arho
No nosso caso, como a própria expressão de já diz que o coeficiente de é 25, temos

Passo 4

Aí é mamão com açúcar: subtraímos a parte normal de vec Ftan>=nte =vec F - vec Fnormal =(25,vec arho+12,vec aphi-20,vec az) -25,vec arho =12,vec aphi-20,vec az pra ficar só com a tangente:

Resposta

boxedvec Ftan>=nte = 12,vec aphi;-;20,vec az

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