Uma casca hemisférica fina de raio R possui uma carga superficial uniforme sigma - Assumir que o eixo de simetria da casca seja z. Determine a componente z do campo campo elétrico no centro da casca ( r=0 ).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma casca hemisférica fininha de raio com densidade de carga superficial uniforme . O eixo de simetria é o eixo , e queremos achar a componente do campo elétrico exatamente no centro da curvatura (ou seja, em ).
Conteúdo: vamos usar a Lei de Coulomb para campos elétricos gerados por distribuição contínua de carga e fazer a decomposição do vetor campo na direção .

Passo 2

Primeiro, recapitula a Lei de Coulomb para uma densidade superficial dE = 14pivarepsilon0,dqr^2,r :
Cada pedaço de área carrega carga . No ponto em que a gente quer o campo (o centro), a contribuição infinitesimal de campo é
Aqui, é a distância do elemento de carga ao ponto (aqui sempre) e é o versor apontando da carga até o ponto.

Passo 3

Como a casca é hemisférica de raio dA = R^2sintheta,dtheta,dphi, , em coordenadas esféricas centradas no ponto cada elemento de área é
com variando de (topo da cúpula) até (borda plana), e de a .
Então .

Passo 4

O módulo da contribuição infinitesimal de campo no centro é
dE = 14pivarepsilon0,dqR^2 = 14pivarepsilon0,sigma,R^2sintheta,dtheta,dphiR^2 = sigma4pivarepsilon0,sintheta,dtheta,dphi
Mas o que importa é só a componente ao longo de , que é .

Passo 5

Agora integramos sobre toda a superfície:
Ez =integral dEz =integral0^2pi!!integral0^pi/2 sigma4pivarepsilon0,sinthetacostheta,dtheta,dphi
Fazendo a integral em integral0^pi/2sinthetacostheta,dtheta =12sin^2theta|0^pi/2 =12 Ez =sigma4pivarepsilon0times2pitimes12 =sigma4varepsilon0 , e em :
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Resposta

boxedEz ;=;sigma4varepsilon0 (no sentido +z)

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