Uma casca hemisférica fina de raio
possui uma carga superficial uniforme
- Assumir que o eixo de simetria da casca seja
. Determine a componente
do campo campo elétrico no centro da casca (
).
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma casca hemisférica fininha de raio
com densidade de carga superficial uniforme
. O eixo de simetria é o eixo
, e queremos achar a componente
do campo elétrico exatamente no centro da curvatura (ou seja, em
).
Conteúdo: vamos usar a Lei de Coulomb para campos elétricos gerados por distribuição contínua de carga e fazer a decomposição do vetor campo na direção .
Conteúdo: vamos usar a Lei de Coulomb para campos elétricos gerados por distribuição contínua de carga e fazer a decomposição do vetor campo na direção
Passo 2
Primeiro, recapitula a Lei de Coulomb para uma densidade superficial
:
Cada pedaço de área carrega carga
. No ponto em que a gente quer o campo (o centro), a contribuição infinitesimal de campo é
Cada pedaço de área
Aqui,
é a distância do elemento de carga ao ponto (aqui
sempre) e
é o versor apontando da carga até o ponto.
Passo 3
Como a casca é hemisférica de raio
, em coordenadas esféricas centradas no ponto
cada elemento de área é
com
variando de
(topo da cúpula) até
(borda plana), e
de
a
.
Então .
Então
Passo 4
O módulo da contribuição infinitesimal de campo no centro é
Mas o que importa é só a componente ao longo de
, que é
.
Passo 5
Agora integramos sobre toda a superfície:
Fazendo a integral em
dá
, e em
:
Logo