Um campo de força é representado no ponto
, 5) por
. Determine a componente vetorial de
que é: Determine um vetor unitário que seja perpendicular a
e tangente ao cilindro
.
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que no ponto P com coordenadas cilíndricas
temos o campo de força
E a parada é: “ache um vetor unitário que seja perpendicular a
e ao mesmo tempo tangente ao cilindro
.”
Conteúdo: geometria vetorial em coordenadas cilíndricas, produto escalar e normalização.
O que vamos precisar:
Conteúdo: geometria vetorial em coordenadas cilíndricas, produto escalar e normalização.
O que vamos precisar:
- Identificar a direção normal ao cilindro
(que é ). - Saber que tangente ao cilindro significa estar no plano ortogonal a
(logo, combinações de e ). - Exigir que nosso vetor seja ortogonal a
(produto escalar zero). - Normalizar para ficar “unitário”.
Passo 2
Primeiro, “tangente ao cilindro
” significa que nosso vetor, digamos
, não pode ter componente em
.
Então a gente escreve
Então a gente escreve
onde
e
são escalares a determinar.
Passo 3
Agora impomos que
seja perpendicular a
.
O produto escalar em base cilíndrica é bem simples, porque essas direções são ortonormais.
Logo
O produto escalar em base cilíndrica
Logo
Para ser ortogonal, isso tem que ser zero:
Passo 4
Agora normalizamos
.
Como , seu módulo é
Como
Substituindo
:
Para ficar unitário, a gente pode escolher
de modo que isso dê
. Por exemplo, tomar
E o sinal (positivo ou negativo) vai só inverter a direção. Vamos pegar
.
Então
Então
Resposta
Um vetor unitário perpendicular a
e tangente ao cilindro
é