Um campo de força é representado no ponto P(8,120^circ, 5) por F=25 arho+12 aphi-20 az. Determine a componente vetorial de F que é: Determine um vetor unitário que seja perpendicular a F e tangente ao cilindro rho=8.

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que no ponto P com coordenadas cilíndricas vec F = 25,vec arho ;+;12,vec aphi;-;20,vec az temos o campo de força
E a parada é: “ache um vetor unitário que seja perpendicular a e ao mesmo tempo tangente ao cilindro .”
Conteúdo: geometria vetorial em coordenadas cilíndricas, produto escalar e normalização.
O que vamos precisar:
  • Identificar a direção normal ao cilindro (que é ).
  • Saber que tangente ao cilindro significa estar no plano ortogonal a (logo, combinações de e ).
  • Exigir que nosso vetor seja ortogonal a (produto escalar zero).
  • Normalizar para ficar “unitário”.

Passo 2

Primeiro, “tangente ao cilindro vec v = A,vec aphi ;+; B,vec az, ” significa que nosso vetor, digamos , não pode ter componente em .
Então a gente escreve
onde e são escalares a determinar.

Passo 3

Agora impomos que vec Fcdotvec v = (25,vec arho + 12,vec aphi -20,vec az)cdot(A,vec aphi + B,vec az) =25cdot0 + 12,A +(-20),B = 12A - 20B seja perpendicular a 12A - 20B = 0 Longrightarrow 12A = 20B Longrightarrow A = 2012,B = 53,B .
O produto escalar em base cilíndrica é bem simples, porque essas direções são ortonormais.
Logo
Para ser ortogonal, isso tem que ser zero:

Passo 4

Agora normalizamos |vec v| = raizA^2 + B^2, .
Como |vec v| = raizl(53Br)^2 + B^2 = |B|raiz259 + 1 = |B|raiz25+99 = |B|raiz343 , seu módulo é
|B|;=;3raiz34
Substituindo A = 53B = 53,3raiz34 = 5raiz34 :
Para ficar unitário, a gente pode escolher de modo que isso dê . Por exemplo, tomar
E o sinal (positivo ou negativo) vai só inverter a direção. Vamos pegar .
Então

Resposta

Um vetor unitário perpendicular a boxed vec u = 5raiz34;vec aphi ;+;3raiz34;vec az e tangente ao cilindro é

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