Dados A=3 ax-4 ay+5 az e B=-ax+2 ay-3 az, determine: A times(A times B).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o vetor
Atimesl(AtimesBr)
onde
A=3,vec ax-4,vec ay+5,vec az e B=-1,vec ax+2,vec ay-3,vec az
Conteúdo: produto vetorial e produto vetorial triplo.
O que vamos precisar:
– Definição de produto escalar e vetorial.
– A identidade do produto vetorial triplo
vec Atimes(vec Atimesvec B)=vec A,(vec Acdotvec B);-;vec B,(vec Acdotvec A)

Passo 2

Primeiro, a teoria: o produto vetorial triplo
vec Atimes(vec Atimesvec B)
pode ser reescrito usando a identidade
vec Atimes(vec Atimesvec B) =vec A;(vec Acdotvec B);-;vec B;(vec Acdotvec A)
Isso evita fazer dois produtos vetoriais “na mão” e simplifica o cálculo.

Passo 3

Calcular os produtos escalares que aparecem:
  1. vec Acdotvec B =3cdot(-1)+(-4)cdot2+5cdot(-3) =-3-8-15 =-26 :
vec Acdotvec A =3^2+(-4)^2+5^2 =9+16+25 =50
  1. :

Passo 4

Agora aplicamos a identidade:
vec Atimes(vec Atimesvec B) =vec A;(vec Acdotvec B);-;vec B;(vec Acdotvec A) =-26,vec A;-;50,vec B
Substituindo -26,vec A =-26,(3,-4,5) =(-78,,104,,-130), e -50,vec B =-50,(-1,2,-3) =(50,,-100,,150) :
(-78,104,-130)+(50,-100,150) =(-28,,4,,20)
Somando os dois resultados:

Resposta

boxedvec Atimes(vec Atimesvec B) =-28,vec ax+4,vec ay+20,vec az

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