Quais são as partes reais e imaginárias de
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as partes reais e imaginárias da função $ f(z) = z^{3} + z^{2} + \overline{\left(\frac{1}{z}\right)} $. Vamos usar conceitos de números complexos para isso, especialmente a forma algébrica dos números complexos e a operação de conjugado. Vamos precisar expressar $ z $ na forma $ z = x + iy $, onde $ x $ é a parte real e $ y $ é a parte imaginária.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever $ z $ na forma $ x + iy $:
Agora, vamos calcular cada termo da função $ f(z) $:
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Calcular $ z^{3} $:Vamos elevar $ z $ ao cubo:Desenvolvendo essa potência:Simplificando:
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Calcular $ z^{2} $:Elevando $ z $ ao quadrado:Desenvolvendo:Simplificando:
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Calcular $ \overline{\left(\frac{1}{z}\right)} $:Primeiro, encontramos $ \frac{1}{z} $:Agora, aplicamos o conjugado:
Passo 3
Agora, vamos somar todos os termos calculados para obter $ f(z) $:
Substituindo os valores encontrados:
Passo 4
Vamos agora separar as partes reais e imaginárias:
Parte real:
Parte imaginária:
Passo 5
Podemos simplificar as expressões finais para as partes real e imaginária:
Parte real:
Parte imaginária:
Resposta
As partes reais e imaginárias de $ f(z) $ são: