Quais são as partes reais e imaginárias de f(z)=z^3+z^2+(1z) ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as partes reais e imaginárias da função $ f(z) = z^{3} + z^{2} + \overline{\left(\frac{1}{z}\right)} $. Vamos usar conceitos de números complexos para isso, especialmente a forma algébrica dos números complexos e a operação de conjugado. Vamos precisar expressar $ z $ na forma $ z = x + iy $, onde $ x $ é a parte real e $ y $ é a parte imaginária.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever $ z $ na forma $ x + iy $:
z
Agora, vamos calcular cada termo da função $ f(z) $:
  1. Calcular $ z^{3} $:
    Vamos elevar $ z $ ao cubo:
    x + iy
    Desenvolvendo essa potência:
    z = x + iy
    Simplificando:
    f(z)
    z^3
  2. Calcular $ z^{2} $:
    Elevando $ z $ ao quadrado:
    z
    Desenvolvendo:
    z^3 = (x + iy)^3
    Simplificando:
    z^3 = x^3 + 3x^2(iy) + 3x(iy)^2 + (iy)^3
    z^3 = x^3 + 3ix^2y - 3xy^2 - iy^3
  3. Calcular $ \overline{\left(\frac{1}{z}\right)} $:
    Primeiro, encontramos $ \frac{1}{z} $:
    z^3 = (x^3 - 3xy^2) + i(3x^2y - y^3)
    Agora, aplicamos o conjugado:
    z^2

Passo 3

Agora, vamos somar todos os termos calculados para obter $ f(z) $:
f(z)
Substituindo os valores encontrados:
f(z) = z^3 + z^2 + (1z)

Passo 4

Vamos agora separar as partes reais e imaginárias:
Parte real:
(x^3 - 3xy^2) + (x^2 - y^2) + xx^2 + y^2
Parte imaginária:
(3x^2y - y^3) + (2xy) + yx^2 + y^2

Passo 5

Podemos simplificar as expressões finais para as partes real e imaginária:
Parte real:
Re(f(z)) = x^3 - 3xy^2 + x^2 - y^2 + xx^2 + y^2
Parte imaginária:
Im(f(z)) = 3x^2y - y^3 + 2xy + yx^2 + y^2

Resposta

As partes reais e imaginárias de $ f(z) $ são:
f(z)
Re(f(z)) = x^3 - 3xy^2 + x^2 - y^2 + xx^2 + y^2

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