Um campo de força é representado no ponto P(8,120^circ, 5) por F=25 arho+12 aphi-20 az. Determine a componente vetorial de F que é: tangente ao plano phi=120^circ.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um campo de força em coordenadas cilíndricas, no ponto
P(rho=8,;phi=120^circ,;z=5),
e o vetor é
vec F = 25, arho ;+;12, aphi;-;20, az
O que queremos encontrar é a parte de que fica “esticada” ao longo do plano .
Conteúdo envolvido: coordenadas cilíndricas, vetores unitários , produto escalar e projeção de vetores.
O que vamos precisar: identificar o vetor normal ao plano constante, usar projeção e subtração pra achar a componente tangente.

Passo 2

Qual é o normal ao plano n = aphi ?
Num sistema cilíndrico, o plano constante é perpendicular à direção .
Logo, o vetor normal unitário é

Passo 3

Agora projetamos vec Fn = (vec Fcdot n), n sobre esse normal. A projeção de vec Fcdot aphi = 12 em vec Fn = 12, aphi é
Como são ortonormais, basta pegar o coeficiente em :
Logo

Passo 4

A componente tangente ao plano é o resto de vec Ftang = vec F - vec Fn quando a gente tira a parte normal. Em fórmula:
vec Ftang = l(25, arho +12, aphi -20, azr) ;-; 12, aphi = 25, arho ;-;20, az
Substituindo:

Resposta

boxedvec Ftang = 25, arho ;-;20, az

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