Teste de Comparação no Limite: Suponha que
e
sejam séries com termos positivos. Se
onde
é um número finito e
, então ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem.
Use o Teste de Comparação no Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
Use o Teste de Comparação no Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente precisa estudar a convergência da série
usando o Teste de Comparação no Limite. O conteúdo é séries numéricas positivas e o que vamos precisar é comparar com uma série-padrão que a gente já conhece (como a harmônica).
Passo 2
Para aplicar o Teste de Comparação no Limite, escolhemos a série de referência
com termos
, pois a série harmônica é bem conhecida por divergir. Assim temos
e
.
Agora calculamos o limite . Primeiro escrevemos:
Agora calculamos o limite
Usamos a propriedade de exponenciais:
. Quando
, temos
, logo
Passo 3
Como o limite
é finito e estritamente positivo, o Teste de Comparação no Limite garante que
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
A série de referência é a harmônica e diverge. Portanto, pela equivalência do teste, a nossa série original também diverge.
A série de referência
Resposta
A série diverge.