Teste de Comparação no Limite: Suponha que sum an e sum bn sejam séries com termos positivos. Se
lim n infty anbn=c
onde c é um número finito e c>0, então ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem.
Use o Teste de Comparação no Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty 1n^1+1 / n

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa estudar a convergência da série sumn=1^infty 1n^1+1/n usando o Teste de Comparação no Limite. O conteúdo é séries numéricas positivas e o que vamos precisar é comparar com uma série-padrão que a gente já conhece (como a harmônica).

Passo 2

Para aplicar o Teste de Comparação no Limite, escolhemos a série de referência sum bn com termos bn = 1n, pois a série harmônica é bem conhecida por divergir. Assim temos an = 1n^1+1/n e bn = 1n.
Agora calculamos o limite limntoinfty anbn. Primeiro escrevemos:
anbn = 1/n^1+1/n1/n = n^1 - (1+1/n) = n^-1/n
Usamos a propriedade de exponenciais: n^-1/n = e^-1nln n. Quando ntoinfty, temos ln nnto 0, logo
limntoinfty n^-1/n = e^0 = 1

Passo 3

Como o limite c=1 é finito e estritamente positivo, o Teste de Comparação no Limite garante que sum an e sum bn têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
A série de referência sumn=1^infty 1n é a harmônica e diverge. Portanto, pela equivalência do teste, a nossa série original também diverge.

Resposta

A série diverge.

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