Teste de Comparação no Limite: Suponha que
e
sejam séries com termos positivos. Se
onde
é um número finito e
, então ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem.
Use o Teste de Comparação no Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
Use o Teste de Comparação no Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
Passo 1
A questão pede pra analisar a série
usando o Teste de Comparação no Limite. A matéria aqui são séries de termos positivos e esse teste diz que, se existir uma série de referência
com
e
, então as duas séries convergem ou divergem juntas.
Passo 2
Como
se comporta como
quando
, uma escolha natural é definir
e
. Note que ambos são positivos para todo
e
é a famosa p-série com
, que converge.
Passo 3
Agora calculamos o limite característico do teste:
Como se sabe que
, aqui com
o limite também vale
.
Passo 4
O Teste de Comparação no Limite diz que, com
, as séries
e
têm o mesmo comportamento de convergência. Já que
converge, concluímos que
também converge.
Resposta
A série
converge pelo Teste de Comparação no Limite.