Teste de Comparação no Limite: Suponha que sum an e sum bn sejam séries com termos positivos. Se
lim n infty anbn=c
onde c é um número finito e c>0, então ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem.
Use o Teste de Comparação no Limite para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty sen 1n^2

Passo 1

A questão pede pra analisar a série sumn=1^infty sin(1/n^2) usando o Teste de Comparação no Limite. A matéria aqui são séries de termos positivos e esse teste diz que, se existir uma série de referência sum bn com bn>0 e lim (an/bn)=cin(0,infty), então as duas séries convergem ou divergem juntas.

Passo 2

Como sin(x) se comporta como x quando xto0, uma escolha natural é definir an = sin(1/n^2) e bn = 1/n^2. Note que ambos são positivos para todo n e sum bn = sum 1/n^2 é a famosa p-série com p=2>1, que converge.

Passo 3

Agora calculamos o limite característico do teste:
limntoinfty anbn = limntoinfty sin(1/n^2)1/n^2
Como se sabe que limxto0 sin(x)/x = 1, aqui com x=1/n^2to0 o limite também vale 1.

Passo 4

O Teste de Comparação no Limite diz que, com c=1in(0,infty), as séries sum an e sum bn têm o mesmo comportamento de convergência. Já que sum 1/n^2 converge, concluímos que sum sin(1/n^2) também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty sinl(1/n^2r) converge pelo Teste de Comparação no Limite.

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