O campo de forças dado é conservativo? Justifique e quando for, calcule o potencial.
F(x, y)=e^x^2+y^2(2 x i-2 y j)

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de forças vec F(x,y)=e^x^2+y^2(2x,vec i-2y,vec j) e pergunta se ele é conservativo. O conteúdo é campos conservativos em R^2 e vamos usar o critério das derivadas parciais iguais, já que o domínio é simplesmente conexo.

Passo 2

Escrevemos as componentes do campo como P(x,y)=2x e^x^2+y^2 e Q(x,y)=-2y e^x^2+y^2. O teste de conservatividade em R^2 exige que partial P/partial y=partial Q/partial x.

Passo 3

Calculamos primeiro partial P/partial y. Como P=2x e^x^2+y^2, temos
partial Ppartial y=2x cdot partialpartial y(e^x^2+y^2)=2xcdot e^x^2+y^2cdot 2y=4xy,e^x^2+y^2

Passo 4

Em seguida, calculamos partial Q/partial x. Para Q=-2y e^x^2+y^2, vem
partial Qpartial x=-2ycdot partialpartial x(e^x^2+y^2)=-2ycdot e^x^2+y^2cdot 2x=-4xy,e^x^2+y^2

Passo 5

Comparando, vemos que 4xy e^x^2+y^2neq -4xy e^x^2+y^2 em geral. Logo partial P/partial yneqpartial Q/partial x, o que mostra que o campo não satisfaz o critério de conservatividade.

Resposta

O campo não é conservativo e, portanto, não existe função potencial.

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