Mostre que
independe do caminho e determine uma função potencial
para
:
Passo 1
Estamos com o campo
. A missão é mostrar que
independe do caminho e encontrar uma função potencial
tal que
. O conteúdo aqui é campos conservativos em
e vamos usar o teste das derivadas parciais iguais.
Passo 2
Vamos chamar
e
. Calculamos as derivadas parciais:
e
. Como são iguais e o domínio é simplesmente conexo (
),
é conservativo e a integral independe do caminho.
Passo 3
Para achar o potencial, integramos
em relação a
.
Agora diferenciamos
Daí vem
e, integrando,
.
Passo 4
Logo, uma função potencial conveniente (com
) é