Mostre que integralgamma F independe do caminho e determine uma função potencial phi para F :
F(x, y)=(3 x^2 y+2) i+(x^3+4 y^3) j

Passo 1

Estamos com o campo F(x,y)=(3x^2y+2),i+(x^3+4y^3),j. A missão é mostrar que integralgammavec F independe do caminho e encontrar uma função potencial phi tal que nablaphi=vec F. O conteúdo aqui é campos conservativos em R^2 e vamos usar o teste das derivadas parciais iguais.

Passo 2

Vamos chamar P(x,y)=3x^2y+2 e Q(x,y)=x^3+4y^3. Calculamos as derivadas parciais: partial Ppartial y=3x^2 e partial Qpartial x=3x^2. Como são iguais e o domínio é simplesmente conexo ( R^2), vec F é conservativo e a integral independe do caminho.

Passo 3

Para achar o potencial, integramos P em relação a x.
phi(x,y)=integral(3x^2y+2),dx=x^3y+2x+h(y)
Agora diferenciamos phi em relação a y e igualamos a Q.
partialphipartial y=x^3+h'(y)=x^3+4y^3
Daí vem h'(y)=4y^3 e, integrando, h(y)=y^4+C.

Passo 4

Logo, uma função potencial conveniente (com C=0) é
phi(x,y)=x^3y+2x+y^4

Resposta

integralgammavec F independe do caminho e uma função potencial é phi(x,y)=x^3y+2x+y^4.

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