Exercs. 13-20: Use um teste básico de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty arcsec n(0,5)^n

Passo 1

O exercício pede para decidir se a série sumn=1^inftyarcsecn(0,5)^n converge ou diverge, usando um teste básico de comparação (conteúdo: testes de convergência de séries por comparação com séries geométricas).

Passo 2

Observamos que (0,5)^n = l(tfrac12r)^n = 2^-n. Logo cada termo da série pode ser reescrito como
arcsecn(0,5)^n = arcsecn cdot 2^n

Passo 3

Para aplicar o teste de comparação, precisamos de uma estimativa simples para arcsecn quando n>=2. Sabemos que arcsecn=arccos(1/n) e que, para n>=2,
arcsecn >= arcsec2 = arccosl(tfrac12r)=pi3

Passo 4

Então, para n>=2,
arcsecn(0,5)^n = arcsecn cdot 2^n >= pi3,2^n
Como a série sumn=2^infty2^n é uma série geométrica de razão 2>1, ela diverge.

Passo 5

Pelo teste da comparação, como
arcsecn(0,5)^n é maior ou igual a um termo que gera série geométrica divergente, concluímos que a série original diverge.

Resposta

A série diverge.

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