O campo de forças dado é conservativo? Justifique e quando for, calcule o potencial.
F(x, y)=x i+y j(x^2+y^2)^3 / 2,

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos se o campo de forças vec F(x,y)=x,vec i+y,vec j(x^2+y^2)^3/2 é conservativo e, caso seja, determinar o potencial associado.

Passo 2

Para verificar se o campo é conservativo em um domínio onde ele esteja bem definido (isto é, em R^2setminus(0,0)), aplicamos o teste do rotacional (em duas dimensões, checamos se partial Fy/partial x=partial Fx/partial y). Calculando as derivadas parciais, obtemos 0 para ambas as expressões, logo nablatimesvec F=0 nesse domínio.

Passo 3

Como o rotacional é zero em cada região que não envolva a origem, podemos buscar uma função escalar phi(x,y) tal que nablaphi=vec F. Começamos integrando Fx=partialphi/partial x=dfracx(x^2+y^2)^3/2 em relação a x:
phi(x,y)=integral x(x^2+y^2)^3/2,dx=-1raizx^2+y^2+g(y)

Passo 4

Para determinar g(y), igualamos partialphi/partial y ao componente Fy=dfracy(x^2+y^2)^3/2. Calculando
partialpartial yl(-1raizx^2+y^2+g(y)r)=y(x^2+y^2)^3/2+g'(y)
devemos ter g'(y)=0. Portanto, g(y) é constante, que podemos tomar zero sem perda de generalidade.

Passo 5

Assim chegamos ao potencial phi(x,y)=-dfrac1raizx^2+y^2+C, válido em qualquer região de R^2 que não contenha a origem.

Resposta

O campo é conservativo em R^2setminus(0,0), e o potencial é
phi(x,y)=-1raizx^2+y^2+C

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