O campo de forças dado é conservativo? Justifique e quando for, calcule o potencial.
,
Passo 1
O enunciado pede para analisarmos se o campo de forças
é conservativo e, caso seja, determinar o potencial associado.
Passo 2
Para verificar se o campo é conservativo em um domínio onde ele esteja bem definido (isto é, em
), aplicamos o teste do rotacional (em duas dimensões, checamos se
). Calculando as derivadas parciais, obtemos 0 para ambas as expressões, logo
nesse domínio.
Passo 3
Como o rotacional é zero em cada região que não envolva a origem, podemos buscar uma função escalar
tal que
. Começamos integrando
em relação a
:
Passo 4
Para determinar
, igualamos
ao componente
. Calculando
devemos ter
Passo 5
Assim chegamos ao potencial
, válido em qualquer região de
que não contenha a origem.
Resposta
O campo é conservativo em
, e o potencial é