Determine
trabalho realizado pela força
para deslocar uma partícula ao longo da curva
interseção do cilindro
com o plano
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
Entendendo o Problema
Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial onde precisamos determinar o trabalho realizado por uma força
ao mover uma partícula ao longo de uma curva
. A força dada é:
A curva
é a interseção do cilindro
com o plano
, e está orientada no sentido anti-horário visto de cima. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integração de linha, que nos ajuda a calcular o trabalho realizado por uma força ao longo de uma trajetória.
Passo 2
Entendendo o Trabalho e a Integração de Linha
O trabalho realizado por uma força ao mover uma partícula ao longo de uma curva
é dado pela integral de linha:
Aqui,
é a força aplicada, e
é um elemento infinitesimal de deslocamento ao longo da curva
. O ponto crucial é calcular o produto escalar entre a força e o deslocamento em cada ponto da curva e, em seguida, somar todos esses produtos ao longo de toda a trajetória.
Passo 3
Parametrizando a Curva
A curva
é a interseção do cilindro
com o plano
. Isso significa que
é um círculo de raio 1 no plano
. Podemos parametrizar esse círculo usando coordenadas polares:
onde
varia de
a
. Assim, o vetor posição
é:
Passo 4
Calculando
Para encontrar
, derivamos
em relação a
:
Então,
Passo 5
Substituindo na Força
Agora, substituímos as parametrizações de
,
e
na força
:
Passo 6
Calculando o Produto Escalar
Vamos calcular o produto escalar entre
e
:
Simplificando:
Passo 7
Configurando a Integral para o Trabalho
Agora, substituímos o produto escalar na fórmula do trabalho:
Passo 8
Integrando Termo a Termo
Vamos integrar cada termo separadamente:
-
Sabemos que
, então: -
A integral de
de a é zero: -
Usando a identidade
, a integral também é zero: -
Sabemos que
, então:
Passo 9
Somando Todos os Termos
Agora, somamos todos os resultados:
Resposta
O trabalho realizado pela força
ao deslocar a partícula ao longo da curva
é: