Determine circ trabalho realizado pela força F(x, y, z)=(3 y+z) i+(y-3 x) j+ +(e^z+x) k para deslocar uma partícula ao longo da curva C interseção do cilindro x^2+y^2=1 com o plano z=5, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

Entendendo o Problema
Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial onde precisamos determinar o trabalho realizado por uma força F(x, y, z) ao mover uma partícula ao longo de uma curva C. A força dada é:
F(x, y, z) = (3y + z), i + (y - 3x), j + (e^z + x), k
A curva C é a interseção do cilindro x^2 + y^2 = 1 com o plano z = 5, e está orientada no sentido anti-horário visto de cima. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de integração de linha, que nos ajuda a calcular o trabalho realizado por uma força ao longo de uma trajetória.

Passo 2

Entendendo o Trabalho e a Integração de Linha
O trabalho realizado por uma força ao mover uma partícula ao longo de uma curva C é dado pela integral de linha:
W = integralC F cdot dr
Aqui, F é a força aplicada, e dr é um elemento infinitesimal de deslocamento ao longo da curva C. O ponto crucial é calcular o produto escalar entre a força e o deslocamento em cada ponto da curva e, em seguida, somar todos esses produtos ao longo de toda a trajetória.

Passo 3

Parametrizando a Curva C
A curva C é a interseção do cilindro x^2 + y^2 = 1 com o plano z = 5. Isso significa que C é um círculo de raio 1 no plano z = 5. Podemos parametrizar esse círculo usando coordenadas polares:
x = cos theta
y = sin theta
z = 5
onde theta varia de 0 a 2pi. Assim, o vetor posição r(theta) é:
r(theta) = cos theta, i + sin theta, j + 5, k

Passo 4

Calculando dr
Para encontrar dr, derivamos r(theta) em relação a theta:
drdtheta = -sin theta, i + cos theta, j + 0, k
Então,
dr = (-sin theta, i + cos theta, j) dtheta

Passo 5

Substituindo na Força F
Agora, substituímos as parametrizações de x, y e z na força F:
F(theta) = (3sin theta + 5), i + (sin theta - 3cos theta), j + (e^5 + cos theta), k

Passo 6

Calculando o Produto Escalar F cdot dr
Vamos calcular o produto escalar entre F(theta) e dr:
F cdot dr = (3sin theta + 5)(-sin theta) + (sin theta - 3cos theta)(cos theta) + (e^5 + cos theta)(0)
Simplificando:
F cdot dr = -3sin^2 theta - 5sin theta + sin theta cos theta - 3cos^2 theta

Passo 7

Configurando a Integral para o Trabalho
Agora, substituímos o produto escalar na fórmula do trabalho:
W = integral0^2pi (-3sin^2 theta - 5sin theta + sin theta cos theta - 3cos^2 theta) dtheta

Passo 8

Integrando Termo a Termo
Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral0^2pi -3sin^2 theta , dtheta
    Sabemos que integral0^2pi sin^2 theta , dtheta = pi, então:
    -3pi
  2. integral0^2pi -5sin theta , dtheta
    A integral de sin theta de 0 a 2pi é zero:
    0
  3. integral0^2pi sin theta cos theta , dtheta
    Usando a identidade sin theta cos theta = 12sin 2theta, a integral também é zero:
    0
  4. integral0^2pi -3cos^2 theta , dtheta
    Sabemos que integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = pi, então:
    -3pi

Passo 9

Somando Todos os Termos
Agora, somamos todos os resultados:
W = -3pi + 0 + 0 - 3pi = -6pi

Resposta

O trabalho realizado pela força F ao deslocar a partícula ao longo da curva C é:
W = -6pi

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