O campo de forças dado é conservativo? Justifique e quando for, calcule o potencial.
F(x, y)=y i+(x+2 y) j

Passo 1

A questão pede para verificar se o campo de forças F(x,y)=y,i+(x+2y),j é conservativo e, em caso afirmativo, determinar seu potencial. O conteúdo envolve campos vetoriais e a condição de igualdade das derivadas parciais em domínios simplesmente conexos.

Passo 2

Identificamos as componentes do campo: P(x,y)=y e Q(x,y)=x+2y.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Ppartial y=1, partial Qpartial x=1

Passo 4

Como partial Ppartial y=partial Qpartial x em todo R^2, que é simplesmente conexo, concluímos que o campo é conservativo.

Passo 5

Para achar o potencial phi(x,y), integramos partial phipartial x=P=y:
phi(x,y)=integral y,dx=xy+g(y)

Passo 6

Diferenciando em relação a y e igualando a Q:
partial phipartial y=x+g'(y)=x+2yLongrightarrow g'(y)=2y Rightarrow g(y)=y^2+C

Resposta

Sim, o campo é conservativo e um potencial é
phi(x,y)=xy+y^2+C

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