- Um campo de forças é dado por
. Determine se ele é conservativo e, caso afirmativo encontre a função potencial
, se
.
Passo 1
O enunciado nos dá um campo vetorial
com
O objetivo é verificar se
é conservativo (isto é,
) e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
e
.
Passo 2
Calculamos as derivadas cruzadas para testar
:
Como todas as derivadas cruzadas coincidem,
em
, logo
é conservativo.
Passo 3
Para obter
, integramos a componente
em relação a
:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
e
.
Passo 4
Agora impomos que as outras derivadas de
coincidam com
e
:
Portanto
Passo 5
Usamos a condição
: