1. Um campo de forças é dado por F=(-2 x y^3 z^4,-3 x^2 y^2 z^4,-4 x^2 y^3 z^3). Determine se ele é conservativo e, caso afirmativo encontre a função potencial V(x, y, z), se V(1,-1,1)=3 pi.

Passo 1

O enunciado nos dá um campo vetorial vec F=(P,Q,R) com
P=-2x,y^3z^4, Q=-3x^2y^2z^4, R=-4x^2y^3z^3
O objetivo é verificar se vec F é conservativo (isto é, nablatimesvec F=0) e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial V(x,y,z) tal que nabla V=vec F e V(1,-1,1)=3pi.

Passo 2

Calculamos as derivadas cruzadas para testar nablatimesvec F=0:
partial Ppartial y=-6x,y^2z^4, partial Qpartial x=-6x,y^2z^4,
partial Ppartial z=-8x,y^3z^3, partial Rpartial x=-8x,y^3z^3,
partial Qpartial z=-12x^2y^2z^3, partial Rpartial y=-12x^2y^2z^3
Como todas as derivadas cruzadas coincidem, nablatimesvec F=0 em R^3, logo vec F é conservativo.

Passo 3

Para obter V, integramos a componente P=partial V/partial x em relação a x:
V(x,y,z)=integral -2x,y^3z^4,dx=-x^2y^3z^4+h(y,z),
onde h(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender de y e z.

Passo 4

Agora impomos que as outras derivadas de V coincidam com Q e R:
partial Vpartial y=-3x^2y^2z^4+hy(y,z)stackrel!=Q=-3x^2y^2z^4 Longrightarrow hy=0;Rightarrow;h=g(z),
partial Vpartial z=-4x^2y^3z^3+g'(z)stackrel!=R=-4x^2y^3z^3 Longrightarrow g'(z)=0;Rightarrow;g(z)=C
Portanto
V(x,y,z)=-x^2y^3z^4+C

Passo 5

Usamos a condição V(1,-1,1)=3pi:
V(1,-1,1)=-1^2(-1)^3cdot1^4+C=1+C=3pi Longrightarrow C=3pi-1

Resposta

V(x,y,z)=-x^2y^3z^4+3pi-1

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