1. Um campo de forças é dado por F=(-y z e^-x y z,-x z e^-x y z,-x y e^-x y z). Determine se ele é conservativo e, caso afirmativo encontre a função potencial V(x, y, z), se V(1,1,1)=2.

Passo 1

O enunciado dá o campo de forças
vec F(x,y,z)=l(-y z e^-xyz,,-x z e^-xyz,,-x y e^-xyzr)
e pede para verificar se ele é conservativo e, em caso positivo, determinar uma função potencial V(x,y,z) tal que nabla V=vec F e ,V(1,1,1)=2. Para isso, vamos usar o teste do rotacional (curl) e, em seguida, integrar componentes de vec F.

Passo 2

Denotando
P(x,y,z)=-y z e^-xyz, Q(x,y,z)=-x z e^-xyz, R(x,y,z)=-x y e^-xyz,
calculamos as derivadas mistas:
partial Ppartial y =partialpartial yl(-y z e^-xyzr) =-z e^-xyz+yz,(x z)e^-xyz,
partial Qpartial x =partialpartial xl(-x z e^-xyzr) =-z e^-xyz+xz,(y z)e^-xyz,
e como yz,(x z)=xz,(y z), temos partial P/partial y=partial Q/partial x. De modo análogo verifica-se
partial P/partial z=partial R/partial x e partial Q/partial z=partial R/partial y.
Logo o rotacional de vec F é zero em todo R^3, e como o domínio é simplesmente-conexo, vec F é conservativo.

Passo 3

Para achar V, integramos a primeira componente P=partial V/partial x em relação a x:
integral -y z e^-xyz,dx =e^-xyz+h(y,z),
pois partialxl(e^-xyzr)=-y z e^-xyz. Então
V(x,y,z)=e^-xyz+h(y,z),
onde h é função “constante” em x.

Passo 4

Impondo partial V/partial y=Q, temos
partialpartial yl(e^-xyz+h(y,z)r) =-x z e^-xyz+hy(y,z) stackrel!=Q=-x z e^-xyz,
logo hy(y,z)=0, ou seja h=h(z).
Depois, de partial V/partial z=R:
partialpartial zl(e^-xyz+h(z)r) =-x y e^-xyz+h'(z) stackrel!=-x y e^-xyz,
segue h'(z)=0, logo h é constante C. Assim
V(x,y,z)=e^-xyz+C

Passo 5

Usando a condição V(1,1,1)=2:
e^-1cdot1cdot1+C=2 Longrightarrow e^-1+C=2 Longrightarrow C=2-e^-1

Resposta

V(x,y,z)=e^-xyz+2-e^-1

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