- Um campo de forças é dado por
. Determine se ele é conservativo e, caso afirmativo encontre a função potencial
, se
.
Passo 1
O enunciado dá o campo de forças
e pede para verificar se ele é conservativo e, em caso positivo, determinar uma função potencial tal que
e
. Para isso, vamos usar o teste do rotacional (curl) e, em seguida, integrar componentes de
.
e pede para verificar se ele é conservativo e, em caso positivo, determinar uma função potencial
Passo 2
Denotando
calculamos as derivadas mistas:
e como
, temos
. De modo análogo verifica-se
e
.
Logo o rotacional de é zero em todo
, e como o domínio é simplesmente-conexo,
é conservativo.
Logo o rotacional de
Passo 3
Para achar
, integramos a primeira componente
em relação a
:
pois
. Então
onde
é função “constante” em
.
Passo 4
Impondo
, temos
logo
, ou seja
.
Depois, de :
Depois, de
segue
, logo
é constante
. Assim
Passo 5
Usando a condição
: