(ii) Badaladas de um sino de igreja - As paredes de um grande sino, após uma badalada, vibram e emitem uma energia total
que varia em função do tempo. Na tabela abaixo estão listados alguns valores medidos de energia total e tempo.
Tabela 2 - Medidas experimentais da energia em Joules
e tempo em segundos
.
0,015000
0,005930
0,002340
0,000916
0,000360
4,00
6,00
8,00
10,00
12,00
Teoricamente, espera-se que a equação que relaciona a energia total emitida no tempo seja dada pela expressão:
(a) - Faça o gráfico da equação 2.8:
(b) - Utilizando um artifício matemático, linearize a equação 2.8:
(c) - Identifique as variáveis dependente e independente.
Variável dependente:
Variável independente:
(d) - Construa uma nova tabela aplicando a função linearizada nos dados da tabela 1.
(e) - Construa o gráfico da função linearizada no papel milimetrado utilizando uma escala adequada
|
0,015000 | 0,005930 | 0,002340 | 0,000916 | 0,000360 |
|
4,00 | 6,00 | 8,00 | 10,00 | 12,00 |
(b) - Utilizando um artifício matemático, linearize a equação 2.8:
(c) - Identifique as variáveis dependente e independente.
Variável independente:
(d) - Construa uma nova tabela aplicando a função linearizada nos dados da tabela 1.
Passo 1
O enunciado nos dá medidas de energia
em função do tempo
para um sino que vibra após uma badalada. A lei teórica é
onde
é a energia inicial (
) e
é a constante de tempo. Vamos (a) esboçar o gráfico de
vs.\
, (b) linearizar essa lei, (c) identificar variáveis, (d) montar a tabela transformada e (e) esboçar o gráfico linearizado.
Passo 2
Para esboçar
, note que em
temos
e à medida que
,
. O gráfico é uma curva que parte de
em
e decai exponencialmente rumo a zero, sempre positiva e com concavidade voltada para baixo.
Passo 3
Para linearizar, tomamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Isso é da forma
, ou seja, uma reta em coordenadas
de declive
e intercepto
.
Passo 4
Variável independente:
.
Variável dependente: (e, após linearização,
).
Variável dependente:
Passo 5
Aplicando
aos valores de
medidos, obtemos a tabela abaixo:
]
Passo 6
No papel milimetrado, traça-se
no eixo vertical e
no eixo horizontal usando uma escala que comporte de
a
s e de
até
. Os pontos caem aproximadamente numa reta de declive
e intercepto
.
Resposta
(a) Gráfico de
vs.\
: curva de decaimento exponencial partindo de
em
e tendendo a zero.
(b) Função linearizada:
(b) Função linearizada:
(c) Variável dependente:
(ou
após a transformação); variável independente:
.
(d) Tabela linearizada:
(d) Tabela linearizada:
(e) Gráfico de
vs.\
: reta decrescente com declive
e intercepto
.