(ii) Badaladas de um sino de igreja - As paredes de um grande sino, após uma badalada, vibram e emitem uma energia total (E) que varia em função do tempo. Na tabela abaixo estão listados alguns valores medidos de energia total e tempo.
Tabela 2 - Medidas experimentais da energia em Joules (J) e tempo em segundos (s).
|c|c|c|c|c|c| hline$E(J)$ & 0,015000 & 0,005930 & 0,002340 & 0,000916 & 0,000360 hline$t(S)$ & 4,00 & 6,00 & 8,00 & 10,00 & 12,00 hline 0,015000 0,005930 0,002340 0,000916 0,000360
E=E0 e^-(ttc) (2.8) Onde E0 é a energia inicial para t=0 e tc é a constante de tempo 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00
Teoricamente, espera-se que a equação que relaciona a energia total emitida no tempo seja dada pela expressão:
|l|l|l|l|l|l| hline & & & & & hline & & & & & hline éé
(a) - Faça o gráfico da equação 2.8:
(b) - Utilizando um artifício matemático, linearize a equação 2.8:
(c) - Identifique as variáveis dependente e independente.
Variável dependente:
Variável independente:
(d) - Construa uma nova tabela aplicando a função linearizada nos dados da tabela 1.
(e) - Construa o gráfico da função linearizada no papel milimetrado utilizando uma escala adequada

Passo 1

O enunciado nos dá medidas de energia E em função do tempo t para um sino que vibra após uma badalada. A lei teórica é
E = E0,e^-ttc
onde E0 é a energia inicial ( t=0) e tc é a constante de tempo. Vamos (a) esboçar o gráfico de E vs.\ t, (b) linearizar essa lei, (c) identificar variáveis, (d) montar a tabela transformada e (e) esboçar o gráfico linearizado.

Passo 2

Para esboçar E=E0e^-t/tc, note que em t=0 temos E=E0 e à medida que ttoinfty, Eto0. O gráfico é uma curva que parte de E0 em t=0 e decai exponencialmente rumo a zero, sempre positiva e com concavidade voltada para baixo.

Passo 3

Para linearizar, tomamos o logaritmo natural em ambos os lados:
ln E = lnl(E0e^-t/tcr) = ln E0 - ttc
Isso é da forma ln E = (ln E0) + l(-tfrac1tcr),t, ou seja, uma reta em coordenadas (t,ln E) de declive -1/tc e intercepto ln E0.

Passo 4

Variável independente: t.
Variável dependente: E (e, após linearização, ln E).

Passo 5

Aplicando aos valores de medidos, obtemos a tabela abaixo:
]

Passo 6

No papel milimetrado, traça-se ln E no eixo vertical e t no eixo horizontal usando uma escala que comporte de t=4 a 12 s e de ln Eapprox -8 até -4. Os pontos caem aproximadamente numa reta de declive -1/tc e intercepto ln E0.

Resposta

(a) Gráfico de vs.\ : curva de decaimento exponencial partindo de em e tendendo a zero.
(b) Função linearizada:
(c) Variável dependente: (ou após a transformação); variável independente: .
(d) Tabela linearizada:
(e) Gráfico de vs.\ : reta decrescente com declive e intercepto .

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