O campo de forças sobre uma placa metálica é:
Calcule o rotacional e interprete fisicamente se há tendência de torção da placa?
Passo 1
O enunciado dá o campo de forças plano
e pede duas coisas: (1) calcular o rotacional e (2) interpretar fisicamente se existe tendência de torção da placa. Informações relevantes que temos: os componentes do campo são
e
. Não há componente na direção
(assumimos
).
Passo 2
Vamos lembrar a definição prática do rotacional para campos planos (2D). Para um campo
visto como vetor em 3D com
, o rotacional em forma vetorial é
A componente
é a «parte rotacional» do campo no plano: ela mede a circulação por unidade de área e indica a tendência local de rotação. Pelo uso da regra da mão direita, se essa quantidade for positiva a rotação local é no sentido anti-horário (visto de cima); se for negativa, a rotação local é no sentido horário.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais solicitadas usando os componentes dados:
Passo 4
Substituindo na fórmula do rotacional obtemos a componente
:
Portanto, o rotacional vetorial é
Passo 5
Para fixar a intuição, vamos ver a interpretação via circulação em torno de um pequeno quadrado de lado
com lados paralelos aos eixos. Tomando o percurso orientado no sentido anti-horário e calculando a integral de linha
ao redor do quadrado
obtém-se (passo a passo):
lado inferior: ,
lado direito: ,
lado superior: ,
lado esquerdo: .
Somando:
lado inferior:
lado direito:
lado superior:
lado esquerdo:
Somando:
A circulação total no sentido anti-horário é
. Dividindo pela área
e fazendo
obtemos circulação por área igual a
, exatamente o valor do rotacional calculado. O sinal negativo indica circulação no sentido horário.
Passo 6
Interpretação física para a placa metálica: como o rotacional é igual a
em todo o plano (constante e não nulo), há uma tendência local uniforme de rotação da matéria/forças aplicada na placa. O sinal negativo significa que a tendência é para o sentido horário quando a placa é vista de cima (ou, equivalentemente, o vetor rotacional aponta para baixo, na direção
). Em termos práticos: cada pequena porção da placa experimentaria uma contribuição de torque que tende a girá‑la no sentido horário; a intensidade dessa tendência local (circulação por unidade de área) é
em unidades compatíveis com o campo dado. (O torque total numa peça finita dependeria também do tamanho e das condições de fixação, mas localmente a tendência de torção existe e é uniforme.)