O campo de forças sobre uma placa metálica é:
\vec{F}(x, y)=(3 y, 2 x)
Calcule o rotacional e interprete fisicamente se há tendência de torção da placa?

Passo 1

O enunciado dá o campo de forças plano
\vec{F}(x,y)=(3y,\,2x)
e pede duas coisas: (1) calcular o rotacional e (2) interpretar fisicamente se existe tendência de torção da placa. Informações relevantes que temos: os componentes do campo são F_1(x,y)=3y e F_2(x,y)=2x. Não há componente na direção z (assumimos F_3\equiv 0).

Passo 2

Vamos lembrar a definição prática do rotacional para campos planos (2D). Para um campo \vec{F}(x,y)=(F_1(x,y),F_2(x,y)) visto como vetor em 3D com F_3=0, o rotacional em forma vetorial é
\nabla\times\vec{F}=\big(0,\,0,\,\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\big).
A componente \displaystyle\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} é a «parte rotacional» do campo no plano: ela mede a circulação por unidade de área e indica a tendência local de rotação. Pelo uso da regra da mão direita, se essa quantidade for positiva a rotação local é no sentido anti-horário (visto de cima); se for negativa, a rotação local é no sentido horário.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais solicitadas usando os componentes dados:
\frac{\partial F_2}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2x)=2,
\frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(3y)=3.

Passo 4

Substituindo na fórmula do rotacional obtemos a componente z:
\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}=2-3=-1.
Portanto, o rotacional vetorial é
\nabla\times\vec{F}=(0,\,0,-1)=-\hat{\mathbf{k}}.

Passo 5

Para fixar a intuição, vamos ver a interpretação via circulação em torno de um pequeno quadrado de lado h com lados paralelos aos eixos. Tomando o percurso orientado no sentido anti-horário e calculando a integral de linha \oint \vec{F}\cdot d\vec{r} ao redor do quadrado [x,x+h]\times[y,y+h] obtém-se (passo a passo):
lado inferior: \int_x^{x+h}3y\,dx=3y\,h,
lado direito: \int_y^{y+h}2(x+h)\,dy=2(x+h)h,
lado superior: \int_{x+h}^{x}-3(y+h)\,dx=-3(y+h)h,
lado esquerdo: \int_{y+h}^{y}2x\,dy=-2x\,h.
Somando:
3yh + 2(x+h)h -3(y+h)h -2xh = -h^2.
A circulação total no sentido anti-horário é -h^2. Dividindo pela área h^2 e fazendo h\to0 obtemos circulação por área igual a -1, exatamente o valor do rotacional calculado. O sinal negativo indica circulação no sentido horário.

Passo 6

Interpretação física para a placa metálica: como o rotacional é igual a -1 em todo o plano (constante e não nulo), há uma tendência local uniforme de rotação da matéria/forças aplicada na placa. O sinal negativo significa que a tendência é para o sentido horário quando a placa é vista de cima (ou, equivalentemente, o vetor rotacional aponta para baixo, na direção -\hat{\mathbf{k}}). Em termos práticos: cada pequena porção da placa experimentaria uma contribuição de torque que tende a girá‑la no sentido horário; a intensidade dessa tendência local (circulação por unidade de área) é 1 em unidades compatíveis com o campo dado. (O torque total numa peça finita dependeria também do tamanho e das condições de fixação, mas localmente a tendência de torção existe e é uniforme.)

Resposta

\nabla\times\vec{F}=(0,\,0,-1)=-\hat{\mathbf{k}}\nHá tendência de torção: sim — sentido horário (visto de cima), magnitude constante igual a 1 (circulação por unidade de área = -1).

Exercícios relacionados