Considere o campo de velocidade da água em um canal, dado por:
Calcule a divergência do campo e interprete o resultado explicando se há regiões de acúmulo, perda ou fluxo uniforme de água.
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidade da água em um canal e pede duas coisas: calcular a divergência do campo e interpretar o resultado para dizer se há regiões de acúmulo, perda ou fluxo uniforme de água. As informações relevantes que temos são:
Não há mais dados (como densidade variável ou fontes explícitas), só esse campo de velocidade em função de
e
.
Passo 2
Vou explicar o que é divergência de um campo de velocidade e como interpretá‑la fisicamente (aula rápida e prática). Para um campo bidimensional com componentes
e
, a divergência é definida por
O significado físico: a divergência num ponto mede a taxa líquida de saída de fluido por unidade de volume (ou área, em 2D) de um pequeno elemento em torno desse ponto. Se
há saída líquida (mais fluido sai do que entra) — comportamento “divergente” ou perda local do volume; se
há entrada líquida (acúmulo); se
o fluxo é localmente incompressível/sem acúmulo (o que chamamos fluxo solenoidal).
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula ao nosso campo. Identificamos as componentes:
Passo 4
Calculamos cada derivada parcial separadamente (vou mostrar passo a passo as diferenciações):
porque a derivada de
em relação a
é
.
porque a derivada de
em relação a
é
.
Passo 5
Somamos as duas parcelas para obter a divergência:
Passo 6
Interpretação direta do resultado: a divergência vale
em todos os pontos (é uma constante). Pelo entendimento físico da divergência,
significa que, em qualquer ponto do canal, existe uma saída líquida de água de um pequeno volume ao redor desse ponto — ou seja, mais água sai do que entra nesse pequeno elemento. Em termos simples: há perda local de água (ou, dito de outra forma, o fluxo é “divergente” em todos os pontos).
Comentário físico adicional (importante em provas): água real é praticamente incompressível; para um fluido incompressível e sem fontes, esperaríamos . Como aqui
, o modelo matemático implica que ou (i) o campo está descrevendo um fluido compressível que está expandindo uniformemente, ou (ii) há fontes volumétricas de água distribuídas pelo canal (isto é, em cada ponto algo está injetando água) para justificar o fluxo divergente. Em qualquer caso, o ponto-chave para a prova: divergência positiva e constante → saída líquida e comportamento uniforme de perda/expansão por todo o domínio.
Comentário físico adicional (importante em provas): água real é praticamente incompressível; para um fluido incompressível e sem fontes, esperaríamos
Passo 7
Exemplo curto para fixar: se tivéssemos
então
e não haveria acúmulo nem perda local; já se tivéssemos
então
também é sem acúmulo. Aqui, no nosso caso, o campo escolhido dá sempre
, então é claramente divergente em todo lugar.
Resposta
Interpretação: divergência positiva e constante indica saída líquida de água em todos os pontos (fluxo divergente/“perda” local uniforme); se o fluido for incompressível, isso só pode ocorrer na presença de fontes distribuídas (ou seja, entrada de água vindo de algum termo fonte).