Considere o seguinte campo vetorial de tensões em um material bidimensional:
\vec{T}(x, y)=\left(x y, x^{2}-y\right)
Calcule a derivada direcional do campo de tensões \vec{T} no ponto ( 1,1 ) na direção do vetor unitário \vec{u}=\frac{1}{\sqrt{5}}(1,2). Interprete fisicamente o resultado obtido, explicando o que ele representa no contexto da Mecânica dos Materiais.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional do campo de tensões \vec{T} no ponto (1,1) na direção do vetor unitário \vec{u}=\dfrac{1}{\sqrt{5}}(1,2). Informações dadas:
\vec{T}(x,y)=\bigl(xy,\;x^{2}-y\bigr).
O que precisamos calcular é um vetor que represente a taxa de variação de \vec{T} quando nos deslocamos a partir de (1,1) na direção \vec{u}. Em seguida, interpretar fisicamente esse vetor no contexto da Mecânica dos Materiais.

Passo 2

Conceito e fórmula — o que é a derivada direcional de um campo vetorial:
A derivada direcional de um campo vetorial \vec{T}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 na direção do vetor unitário \vec{u} em um ponto p mede como \vec{T} muda por unidade de comprimento ao mover-se a partir de p na direção \vec{u}. Para campos vetoriais suaves em \mathbb{R}^2 existe uma fórmula prática: primeiro construímos a matriz jacobiana (matriz de todas as derivadas parciais) de \vec{T},
J_{\vec{T}}(x,y)=\begin{pmatrix} \displaystyle\frac{\partial T_1}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial T_1}{\partial y}\\[6pt] \displaystyle\frac{\partial T_2}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial T_2}{\partial y} \end{pmatrix},
onde \vec{T}=(T_1,T_2). A derivada direcional de \vec{T} em p na direção \vec{u} é dada pelo produto dessa matriz no ponto p por \vec{u}:
D_{\vec{u}}\vec{T}(p)=J_{\vec{T}}(p)\,\vec{u}.
Explicando intuitivamente: cada componente do resultado é a combinação linear das derivadas parciais, ponderadas pelas componentes de \vec{u}; isso fornece a taxa de variação ao longo da reta na direção \vec{u}.]

Passo 3

Calcular as derivadas parciais (vamos mostrar passo a passo cada uma). Escrevendo \vec{T}=(T_1,T_2) com T_1(x,y)=xy e T_2(x,y)=x^{2}-y:
  • Para T_1=xy: \frac{\partial T_1}{\partial x}=y,\qquad \frac{\partial T_1}{\partial y}=x.Justificativa: derivada de xy em relação a x trata y como constante (sai y), e em relação a y trata x como constante (sai x).
  • Para T_2=x^{2}-y: \frac{\partial T_2}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial T_2}{\partial y}=-1.Justificativa: derivada de x^2 em relação a x é 2x; derivada de -y em relação a y é -1.
Logo a matriz jacobiana geral é
J_{\vec{T}}(x,y)=\begin{pmatrix} y & x\\[4pt] 2x & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Avaliar a jacobiana no ponto (1,1). Substituindo x=1 e y=1 em J_{\vec{T}}(x,y) obtemos
J_{\vec{T}}(1,1)=\begin{pmatrix} 1 & 1\\[4pt] 2 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Multiplicar a matriz avaliada pelo vetor direção \vec{u}. O vetor unitário é
\vec{u}=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Calculamos
D_{\vec{u}}\vec{T}(1,1)=J_{\vec{T}}(1,1)\,\vec{u} =\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Primeiro a multiplicação matricial interna:
\begin{pmatrix}1\cdot 1 + 1\cdot 2 \\[4pt] 2\cdot 1 + (-1)\cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Agora multiplicando pelo fator \dfrac{1}{\sqrt{5}}:
D_{\vec{u}}\vec{T}(1,1)=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}3\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{3}{\sqrt{5}}\\[8pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Interpretação física no contexto da Mecânica dos Materiais (explicado passo a passo e de modo intuitivo):
  • O campo \vec{T}(x,y) dá, em cada ponto do corpo, um par de componentes que representam tensões (ou um vetor de tensões/trações dependendo do contexto). Aqui as componentes são T_1=xy e T_2=x^{2}-y.
  • A derivada direcional D_{\vec{u}}\vec{T}(1,1) é um vetor que diz “se eu me mover a partir do ponto (1,1) uma pequena distância s na direção \vec{u}, então \vec{T} muda aproximadamente em s vezes esse vetor”. Ou seja, é a taxa de variação por unidade de comprimento ao longo de \vec{u}.
  • No nosso resultado, D_{\vec{u}}\vec{T}(1,1)=\left(\dfrac{3}{\sqrt{5}},\,0\right),a primeira componente é positiva \dfrac{3}{\sqrt{5}} e a segunda é zero. Interpretação concreta:
    • A primeira componente da tensão (por exemplo, T_1) aumenta quando nos deslocamos ao longo da direção \vec{u}; especificamente, por cada unidade de distância ao longo de \vec{u}, T_1 aumenta em \dfrac{3}{\sqrt{5}}.
    • A segunda componente da tensão (por exemplo, T_2) não muda, ao primeiro ordem, ao nos deslocarmos nessa direção — sua taxa de variação é zero.
  • Física aplicada: isso significa que, próximo a (1,1), há um gradiente de tensões orientado de modo que somente uma das componentes se altera ao mover-se na direção \vec{u}. Em termos de comportamento mecânico, gradientes de tensão geram forças internas resultantes e podem influenciar deformações locais, deslocamentos e pontos de concentração de tensão. Saber que \,T_1 cresce nessa direção e T_2 é constante ajuda a prever onde podem surgir zonas de maior esforço ou onde a variação é desprezível numa dada direção — informação útil para analisar falhas, escolher reforços ou traçar linhas de fluxo de tensões.
  • Observação prática e motivadora: se você estivesse verificando segurança de um componente, essa informação diz que ao deslocar-se na direção \vec{u} a tensão do tipo T_1 aumenta — talvez você devesse monitorar a magnitude de T_1 ao longo dessa linha. A segunda componente não preocupa nessa direção (ao menos em primeira aproximação).

Resposta

\displaystyle \left(\frac{3}{\sqrt{5}},\,0\right)

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