Seja D a região do plano x y delimitada pelas parábolas y=x^{2} e y=2-x^{2}.
(a) Calcule a área de D. Compare a maneira como você resolve esta questão por meio de uma integral dupla com o método que você usava para resolver um problema como este quando era aluna de Cálculo 1.
(b) Calcule \iint_{D} x^{2} y d A.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • (a) Calcular a área da região D do plano xy limitada pelas parábolas y=x^{2} e y=2-x^{2}. Além disso, comparar a maneira de resolver essa área por meio de uma integral dupla com o método de Cálculo 1 (área entre curvas).
  • (b) Calcular \iint_{D} x^{2}y\,dA.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • As curvas que delimitam D são y=x^{2} (parábola voltada para cima) e y=2-x^{2} (parábola voltada para baixo).
  • A região D é a parte do plano entre essas duas parábolas (onde uma está acima da outra).
  • Não há outras restrições: D é a região interior fechada por esse par de curvas.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das duas parábolas (pontos onde a fronteira muda de uma curva para a outra) — isso diz onde os limites em x vão começar/finalizar.
Igualamos:
x^{2} = 2 - x^{2}.
Somando x^{2} dos dois lados:
2x^{2} = 2.
Dividindo por 2:
x^{2} = 1.
Logo x = \pm 1. Esses são os pontos de interseção; os pontos de interseção no plano são (-1,1) e (1,1) (substituindo x=\pm1 em y=x^{2} y=1).
Observação útil (para usar depois): a região é simétrica em relação ao eixo y (isto é, se (x,y) está em D, então (-x,y) também está).

Passo 3

Método de Cálculo 1 (área entre curvas usando uma integral única — “fatias verticais”) — vou explicar a ideia e aplicá-la.
Ideia: para calcular a área entre duas curvas expressas como y = y_{\text{top}}(x) e y = y_{\text{bot}}(x) num intervalo a\le x\le b, usamos
\text{Área} = \int_{a}^{b} \bigl(y_{\text{top}}(x) - y_{\text{bot}}(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui “fatias verticais” significam: para cada x no intervalo, a fatia vertical tem altura y_{\text{top}}-y_{\text{bot}} e largura infinitesimal dx; somamos (integrando) essas áreas.
Para o nosso problema:
  • y_{\text{top}}(x) = 2 - x^{2},
  • y_{\text{bot}}(x) = x^{2},
  • intervalo em x é de -1 a 1 (dos pontos de interseção).
Portanto
\text{Área} = \int_{-1}^{1} \bigl((2 - x^{2}) - x^{2}\bigr)\,dx = \int_{-1}^{1} (2 - 2x^{2})\,dx.Á
Agora computamos a integral passo a passo. Primeiro escrevo a primitiva:
  • Uma primitiva de 2 em x é 2x.
  • Uma primitiva de 2x^{2} é \tfrac{2x^{3}}{3}.
Logo
\int (2 - 2x^{2})\,dx = 2x - \frac{2x^{3}}{3}.
Avalio entre -1 e 1:
\Bigl[2x - \frac{2x^{3}}{3}\Bigr]_{-1}^{1} = \left(2\cdot1 - \frac{2\cdot1^{3}}{3}\right) - \left(2\cdot(-1) - \frac{2\cdot(-1)^{3}}{3}\right).
Calculo cada termo:
2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3},\qquad -2 + \frac{2}{3} = -\frac{4}{3}.
Subtraindo:
\frac{4}{3} - (-\frac{4}{3}) = \frac{8}{3}.
Portanto, pelo método de Cálculo 1, a área é \dfrac{8}{3}.
Dica prática para prova: reconhecer simetria pode simplificar (usar 2\int_{0}^{1} em vez de \int_{-1}^{1}), mas aqui a integral já é simples.

Passo 4

Método da integral dupla (ideia e aplicação): a área também pode ser vista como a integral dupla da função 1 sobre a região D:
\text{Área} = \iint_{D} 1\,dA.Á
Pela regra de integração iterada (Teorema de Fubini, aplicável quando a região é tipo “fatia vertical” e as funções são contínuas), podemos escrever como integral iterada. Usamos fatias verticais (mesma ideia do passo anterior, agora formalizada como integral dupla iterada):
Para cada x entre -1 e 1, y vai de y=x^{2} (parte inferior) até y=2-x^{2} (parte superior). Assim
\iint_{D} 1\,dA = \int_{x=-1}^{1} \left(\int_{y=x^{2}}^{y=2-x^{2}} 1\,dy\right) dx.
A integral interna \int_{x^{2}}^{2-x^{2}} 1\,dy é simplesmente (2-x^{2}) - x^{2} = 2 - 2x^{2}. Portanto reduzimos à mesma integral de antes:
\int_{-1}^{1} (2 - 2x^{2})\,dx,
que já calculamos e dá \dfrac{8}{3}.
Comparação prática entre os métodos (resumida e objetiva, para a prova):
  • Método de Cálculo 1 (área entre curvas): é direto, rápido e suficiente quando a região é expressa por duas curvas y_{\text{top}}(x) e y_{\text{bot}}(x) com limites em x fáceis de achar. Você integra y_{\text{top}}-y_{\text{bot}} em x. É a forma mais econômica neste problema.
  • Integral dupla: é mais geral (serve para calcular áreas e também integrais de funções quaisquer sobre a região). No cálculo, ela reduz ao mesmo integral iterado que já usamos. Em provas, uso a integral dupla quando preciso justificar formalmente (por exemplo, ao mudar ordem de integração ou quando o integrando não for 1) ou quando a região é melhor descrita por fatias horizontais. Para este problema específico, ambas dão o mesmo trabalho; o método de Cálculo 1 costuma ser mais rápido.

Passo 5

Agora calculamos \iint_{D} x^{2}y\,dA. Explico a estratégia antes de calcular:
  • Usamos integração iterada com fatias verticais como no passo anterior.
  • A integral será
\iint_{D} x^{2}y\,dA = \int_{x=-1}^{1} \left(\int_{y=x^{2}}^{2-x^{2}} x^{2}y\,dy\right) dx.
  • Note que x^{2} é tratada como constante ao integrar em y.
  • Aproveitamos simetria: a função x^{2}y é par em x (pois depende de x^{2}), e a região é simétrica em x. Podemos então integrar de 0 a 1 e multiplicar por 2 para simplificar, se quiser. Vou primeiro fazer sem esse encurtamento, depois mostrar a versão com simetria.
Calcule a integral interna (em y):
\int_{y=x^{2}}^{2-x^{2}} x^{2}y\,dy = x^{2}\int_{x^{2}}^{2-x^{2}} y\,dy.
Integral de y é y^{2}/2, logo
x^{2}\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{y=x^{2}}^{y=2-x^{2}} = \frac{x^{2}}{2}\left[(2-x^{2})^{2} - (x^{2})^{2}\right].
Agora expandimos cuidadosamente as potências:
(2-x^{2})^{2} = 4 - 4x^{2} + x^{4},\qquad (x^{2})^{2} = x^{4}.
Subtraindo:
(2-x^{2})^{2} - (x^{2})^{2} = (4 - 4x^{2} + x^{4}) - x^{4} = 4 - 4x^{2}.
Multiplicando por x^{2}/2:
\frac{x^{2}}{2}\,(4 - 4x^{2}) = \frac{4x^{2}}{2} - \frac{4x^{4}}{2} = 2x^{2} - 2x^{4}.
Portanto a integral dupla fica
\iint_{D} x^{2}y\,dA = \int_{-1}^{1} (2x^{2} - 2x^{4})\,dx.
Agora integro em x. Observação de simetria: o integrando é uma função par (depende de x^{2} e x^{4}), então
\int_{-1}^{1} (2x^{2} - 2x^{4})\,dx = 2\int_{0}^{1} (2x^{2} - 2x^{4})\,dx,
ou posso integrar diretamente em [-1,1]. Vou calcular direto:
Primitivas:
  • Uma primitiva de 2x^{2} é \tfrac{2x^{3}}{3}.
  • Uma primitiva de 2x^{4} é \tfrac{2x^{5}}{5}.
Logo
\int (2x^{2} - 2x^{4})\,dx = \frac{2x^{3}}{3} - \frac{2x^{5}}{5}.
Avalio entre -1 e 1:
\Bigl[\frac{2x^{3}}{3} - \frac{2x^{5}}{5}\Bigr]_{-1}^{1} = \left(\frac{2}{3} - \frac{2}{5}\right) - \left(\frac{2(-1)^{3}}{3} - \frac{2(-1)^{5}}{5}\right).
Como (-1)^{3}=-1 e (-1)^{5}=-1, o segundo parêntese é \left(-\frac{2}{3} + \frac{2}{5}\right). Então a diferença é
\left(\frac{2}{3} - \frac{2}{5}\right) - \left(-\frac{2}{3} + \frac{2}{5}\right) = 2\left(\frac{2}{3} - \frac{2}{5}\right).
Compute a diferença interna:
\frac{2}{3} - \frac{2}{5} = 2\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = 2\left(\frac{5-3}{15}\right) = 2\cdot\frac{2}{15} = \frac{4}{15}.
Multiplicando por 2:
2\cdot\frac{4}{15} = \frac{8}{15}.
Alternativamente, usando a simetria logo:
\int_{-1}^{1} (2x^{2} - 2x^{4})\,dx = 2\int_{0}^{1} (2x^{2} - 2x^{4})\,dx = 4\int_{0}^{1} (x^{2} - x^{4})\,dx = 4\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) = 4\cdot\frac{2}{15} = \frac{8}{15},
mesmo resultado.
Portanto \iint_{D} x^{2}y\,dA = \dfrac{8}{15}.

Resposta

(a) Área = \dfrac{8}{3}. Comparação: o método de Cálculo 1 (área entre curvas, \int_{a}^{b}(y_{\text{top}}-y_{\text{bot}})\,dx) é mais direto e rápido aqui; a integral dupla ( \iint_{D}1\,dA) é equivalente e mais geral — reduz à mesma integral iterada e é útil quando se quer formalidade ou quando o integrando não for 1.
(b) \dfrac{8}{15}

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