Seja
a região do plano
delimitada pelas parábolas
e
.
(a) Calcule a área de
. Compare a maneira como você resolve esta questão por meio de uma integral dupla com o método que você usava para resolver um problema como este quando era aluna de Cálculo 1.
(b) Calcule
.
(a) Calcule a área de
(b) Calcule
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular a área da região
do plano limitada pelas parábolas e . Além disso, comparar a maneira de resolver essa área por meio de uma integral dupla com o método de Cálculo 1 (área entre curvas). - (b) Calcular
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- As curvas que delimitam
são (parábola voltada para cima) e (parábola voltada para baixo). - A região
é a parte do plano entre essas duas parábolas (onde uma está acima da outra). - Não há outras restrições:
é a região interior fechada por esse par de curvas.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção das duas parábolas (pontos onde a fronteira muda de uma curva para a outra) — isso diz onde os limites em
vão começar/finalizar.
Igualamos:
Somando
dos dois lados:
Dividindo por
:
Logo
. Esses são os pontos de interseção; os pontos de interseção no plano são
e
(substituindo
em
dá
).
Observação útil (para usar depois): a região é simétrica em relação ao eixo
(isto é, se
está em
, então
também está).
Passo 3
Método de Cálculo 1 (área entre curvas usando uma integral única — “fatias verticais”) — vou explicar a ideia e aplicá-la.
Ideia: para calcular a área entre duas curvas expressas como
e
num intervalo
, usamos
Aqui “fatias verticais” significam: para cada
no intervalo, a fatia vertical tem altura
e largura infinitesimal
; somamos (integrando) essas áreas.
Para o nosso problema:
-
, -
, - intervalo em
é de a (dos pontos de interseção).
Portanto
Agora computamos a integral passo a passo. Primeiro escrevo a primitiva:
- Uma primitiva de
em é . - Uma primitiva de
é .
Logo
Avalio entre
e
:
Calculo cada termo:
Subtraindo:
Portanto, pelo método de Cálculo 1, a área é
.
Dica prática para prova: reconhecer simetria pode simplificar (usar
em vez de
), mas aqui a integral já é simples.
Passo 4
Método da integral dupla (ideia e aplicação): a área também pode ser vista como a integral dupla da função
sobre a região
:
Pela regra de integração iterada (Teorema de Fubini, aplicável quando a região é tipo “fatia vertical” e as funções são contínuas), podemos escrever como integral iterada. Usamos fatias verticais (mesma ideia do passo anterior, agora formalizada como integral dupla iterada):
Para cada
entre
e
,
vai de
(parte inferior) até
(parte superior). Assim
A integral interna
é simplesmente
. Portanto reduzimos à mesma integral de antes:
que já calculamos e dá
.
Comparação prática entre os métodos (resumida e objetiva, para a prova):
- Método de Cálculo 1 (área entre curvas): é direto, rápido e suficiente quando a região é expressa por duas curvas
e com limites em fáceis de achar. Você integra em . É a forma mais econômica neste problema. - Integral dupla: é mais geral (serve para calcular áreas e também integrais de funções quaisquer sobre a região). No cálculo, ela reduz ao mesmo integral iterado que já usamos. Em provas, uso a integral dupla quando preciso justificar formalmente (por exemplo, ao mudar ordem de integração ou quando o integrando não for 1) ou quando a região é melhor descrita por fatias horizontais. Para este problema específico, ambas dão o mesmo trabalho; o método de Cálculo 1 costuma ser mais rápido.
Passo 5
Agora calculamos
. Explico a estratégia antes de calcular:
- Usamos integração iterada com fatias verticais como no passo anterior.
- A integral será
- Note que
é tratada como constante ao integrar em . - Aproveitamos simetria: a função
é par em (pois depende de ), e a região é simétrica em . Podemos então integrar de a e multiplicar por para simplificar, se quiser. Vou primeiro fazer sem esse encurtamento, depois mostrar a versão com simetria.
Calcule a integral interna (em
):
Integral de
é
, logo
Agora expandimos cuidadosamente as potências:
Subtraindo:
Multiplicando por
:
Portanto a integral dupla fica
Agora integro em
. Observação de simetria: o integrando é uma função par (depende de
e
), então
ou posso integrar diretamente em
. Vou calcular direto:
Primitivas:
- Uma primitiva de
é . - Uma primitiva de
é .
Logo
Avalio entre
e
:
Como
e
, o segundo parêntese é
. Então a diferença é
Compute a diferença interna:
Multiplicando por
:
Alternativamente, usando a simetria logo:
mesmo resultado.
Portanto
.
Resposta
(a) Área
. Comparação: o método de Cálculo 1 (área entre curvas,
) é mais direto e rápido aqui; a integral dupla (
) é equivalente e mais geral — reduz à mesma integral iterada e é útil quando se quer formalidade ou quando o integrando não for 1.
(b)
(b)