O campo magnético num cíclotron de prótons vale 1.5 T e o raio máximo da órbita de saída vale 50 cm . Qual a frequência de operação do cíclotron? Qual a energia cinética dos prótons na saída do aparelho? Converta essa energia em Mev (mega elétron-volt).

Passo 1

O enunciado nos dá um cíclotron onde o campo magnético vale B=1{,}5\\ \mathrm{T} e o raio máximo da órbita de saída vale r=0{,}50\\ \mathrm{m}.
O que se pede é a frequência de operação do cíclotron e a energia cinética dos prótons na saída, convertida em MeV.
Para isso, vamos usar a relação entre a força magnética e a força centrípeta para obter a velocidade, a expressão da frequência ciclotron e a fórmula da energia cinética.

Passo 2

A frequência de operação de um cíclotron é dada por
f = \frac{\omega}{2\pi}
onde \omega é a velocidade angular da partícula em órbita. Como a única força que age transverse ao movimento é a força de Lorentz, temos
qvB = m\,\frac{v^2}{r}
e, para a frequência, vale também
\omega = \frac{qB}{m}\,.
Logo,
f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{qB}{2\pi\,m}\,.
Substituindo o próton com carga q=1{,}6\times10^{-19}\\ \mathrm{C} e massa m=1{,}67\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}, obtemos
f = \frac{1{,}6\times10^{-19}\cdot1{,}5}{2\pi\cdot1{,}67\times10^{-27}} \approx 2{,}29\times10^{7}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 3

Para achar a energia cinética precisamos da velocidade máxima v que o próton atinge ao chegar em r.
Da igualdade entre a força magnética e a força centrípeta, temos
q\,v\,B = m\,\frac{v^2}{r}
e, resolvendo para v,
v = \frac{q\,B\,r}{m}\,.

Passo 4

A energia cinética é
K = \frac12\,m\,v^2 = \frac12\,m\left(\frac{qBr}{m}\right)^{2} = \frac{q^2\,B^2\,r^2}{2\,m}\,.
Substituindo q=1{,}6\times10^{-19}\\ \mathrm{C}, B=1{,}5\\ \mathrm{T}, r=0{,}50\\ \mathrm{m} e m=1{,}67\times10^{-27}\\ \mathrm{kg},
K = \frac{(1{,}6\times10^{-19})^2\,(1{,}5)^2\,(0{,}50)^2}{2\cdot1{,}67\times10^{-27}} \approx 4{,}32\times10^{-12}\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Para converter K em elétron-volt, usamos 1\\ \mathrm{eV}=1{,}6\times10^{-19}\\ \mathrm{J}. Então
K = \frac{4{,}32\times10^{-12}}{1{,}6\times10^{-19}}\\ \mathrm{eV} \approx 2,7\times10^{7}\\ \mathrm{eV} = 27\\ \mathrm{MeV}.

Resposta

A frequência de operação do cíclotron é aproximadamente
f \approx 2,29\times10^{7}\\ \mathrm{Hz}\quad(\text{\approx\,22,9 MHz}),
e a energia cinética dos prótons na saída é
K \approx 4,32\times10^{-12}\\ \mathrm{J} \quad(\text{\approx\,27 MeV}).

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