Um íon de { }^{58} \mathrm{Ni}, com carga +e e massa de 9.62 \times 10^{-26} \mathrm{Kg}, é acelerado por uma diferença de potencial de 3 KV e depois desviado num campo magnético de 0.12 T. Responda: (a) a velocidade do íon ao final de sua aceleração. (b) Qual o raio da órbita desse íon?

Passo 1

O enunciado trata de um íon de níquel-58, com carga +e e massa m=9,62\times10^{-26}\,\mathrm{kg}, que é acelerado por uma diferença de potencial de V=3{,}0\times10^3\,\mathrm V e depois se desloca num campo magnético uniforme de intensidade B=0,12\,\mathrm T. Para resolver, vamos usar:
  • A relação entre energia elétrica fornecida e energia cinética adquirida,
  • A condição de força magnética como força centrípeta para movimento circular.

Passo 2

A energia elétrica que o íon ganha ao ser acelerado por V é
qV = \frac12\,m\,v^2,
onde q=e=1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm C. Isolando v,
v = \sqrt{\frac{2\,q\,V}{m}}.
Substituindo os valores:
\frac{2\,q\,V}{m} = \frac{2\times(1{,}602\times10^{-19})\times(3{,}0\times10^3)}{9,62\times10^{-26}} \approx 9,99\times10^9,
portanto
v \approx \sqrt{9,99\times10^9}\approx9,996\times10^4\,\mathrm{m/s}\approx1,00\times10^5\,\mathrm{m/s}.

Passo 3

No campo magnético, a força magnética F=q\,v\,B fornece a força centrípeta F_c=m\,v^2/r. Logo,
q\,v\,B = \frac{m\,v^2}{r} \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{m\,v}{q\,B}.
Usando m=9,62\times10^{-26}\,\mathrm{kg}, v=9,996\times10^4\,\mathrm{m/s}, q=1,602\times10^{-19}\,\mathrm C e B=0,12\,\mathrm T:
r = \frac{9,62\times10^{-26}\times9,996\times10^4}{1,602\times10^{-19}\times0,12} \approx 0,50\,\mathrm m.

Resposta

a) A velocidade ao final da aceleração é aproximadamente
v \approx 1,00\times10^5\;\mathrm{m/s}.
b) O raio da órbita no campo magnético é aproximadamente
r \approx 0,50\;\mathrm{m}.

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