Se um feixe contendo núcleos de hidrogênio (ou seja, prótons) e núcleos de deutério (um próton e um nêutron) entrar num espectrômetro de massa, qual a razão aproximada entre os raios das órbitas desse íons? Considere a massa do próton praticamente igual a do nêutron.

Passo 1

O enunciado diz que um feixe misto de íons \text{H}^+ (prótons) e \text{D}^+ (deutérios) é acelerado pelo mesmo potencial V e depois entra num campo magnético uniforme B, descrevendo órbitas circulares. O conteúdo envolve energia adquirida na aceleração e equilíbrio entre força magnética e força centrípeta.

Passo 2

Como cada íon de carga q=e recebe energia cinética igual a qV, temos
qV = \tfrac12\,m\,v^2
Logo a velocidade de cada íon depois da aceleração é
v = \sqrt{\frac{2\,q\,V}{m}}.

Passo 3

No campo magnético, a força magnética q\,v\,B fornece a força centrípeta m\,v^2/r. Assim,
q\,v\,B = \frac{m\,v^2}{r} \quad\Rightarrow\quad r = \frac{m\,v}{q\,B}.

Passo 4

Substituindo v em r
r = \frac{m}{q\,B}\,\sqrt{\frac{2\,q\,V}{m}} = \frac{1}{q\,B}\,\sqrt{2\,m\,q\,V} \;\propto\;\sqrt{m}.
Como m_{\text{D}}\approx2\,m_{\text{H}}, segue
\frac{r_{\text{D}}}{r_{\text{H}}} =\sqrt{\frac{m_{\text{D}}}{m_{\text{H}}}} =\sqrt{2}\approx1{,}4.

Resposta

\displaystyle \frac{r_{\text{D}}}{r_{\text{H}}}\approx\sqrt{2}\approx1{,}4

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