CAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO POR UM SOLENOIDE
Um solenoide é uma hélice em que o passo é muito pequeno. O campo magnético produzido por um solenoide será a soma vetorial dos campos produzidos pelas espiras:
O campo:
Tende a se cancelar no espaço entre as espiras;
No centro do solenoide, ponto
, é aproximadamente uniforme;
E na parte de fora, no ponto
, é aproximadamente desprezível.
No interior do solenoide, em pontos afastados das espiras, o campo B é aproximadamente paralelo ao eixo central do solenoide;
Aplicando a lei de Ampère, usando como amperiana o retângulo (abcda), temos:
A primeira integral é igual a Bh , a segunda e a quarta são iguais a zero, porque
é perpendicular a ds. A terceira também é igual a zero pois
é igual a zero (na parte de fora).
A corrente envolvida (
) será igual a corrente de uma espira (i) multiplicada pelo número total de espiras
.
Se o solenoide apresenta n espiras em cada unidade de comprimento
, temos um número (
) de espiras na amperiana (h) equivalente a (
):
Logo, o campo magnético pode ser escrito como:
Logo,
Esse resultado é válido para campos magnéticos internos, afastados das extremidades do solenoide;
Note que o campo independe do raio do solenoide, logo, não depende da sua área.
Um solenoide é uma hélice em que o passo é muito pequeno. O campo magnético produzido por um solenoide será a soma vetorial dos campos produzidos pelas espiras:
Tende a se cancelar no espaço entre as espiras;
No centro do solenoide, ponto
E na parte de fora, no ponto
Aplicando a lei de Ampère, usando como amperiana o retângulo (abcda), temos:
Logo, o campo magnético pode ser escrito como:
Note que o campo independe do raio do solenoide, logo, não depende da sua área.
Passo 1
O enunciado pede para obter o campo magnético no interior de um solenoide longo (em pontos afastados das extremidades) e mostra um raciocínio usando a lei de Ampère. As informações relevantes fornecidas são:
- O solenoide é formado por muitas espiras próximas (passo pequeno), de modo que o campo no seu interior é aproximadamente uniforme e paralelo ao eixo.
- Fora do solenoide o campo é aproximadamente desprezível (em pontos afastados das espiras).
- Há uma corrente em cada espira igual a
. - O solenoide tem densidade de espiras por unidade de comprimento igual a
(espiras por metro). - Na figura foi desenhada uma amperiana retangular de lados
com comprimento interno (lado tem comprimento ). Eu peguei essas informações e a geometria da amperiana da imagem que você enviou.
A tarefa implícita é usar a lei de Ampère para calcularno interior do solenoide (em pontos afastados das extremidades).
Passo 2
Apresentando a ferramenta: a lei de Ampère. Ela diz que a integral de linha do campo magnético ao longo de uma curva fechada (a amperiana) é igual a
vezes a corrente total que atravessa a superfície limitada por essa curva. Em fórmula:
Explicando os símbolos:
-
é a integral de linha do vetor campo magnético ao longo do contorno fechado escolhido (produto escalar com o elemento de comprimento ). -
é a permeabilidade do vácuo ( ). -
é a soma das correntes que atravessam a superfície delimitada pela amperiana (correntes “enclausuradas”).
Passo 3
Escolha da amperiana (com base na figura): escolhemos um retângulo cujos lados são paralelos e perpendiculares ao eixo do solenoide, de modo que:
- O lado interno
fica completamente dentro do solenoide, paralelo ao eixo, e tem comprimento . - O lado externo
fica fora do solenoide, paralelo ao eixo, também com comprimento . - Os lados
e são perpendiculares ao eixo.
Essa escolha é conveniente porque, conforme a figura, no interior do solenoideé aproximadamente uniforme e paralelo ao eixo; fora do solenoide é desprezível; e nos lados perpendiculares o vetor é perpendicular ao deslocamento . Eu peguei a geometria exata do retângulo da imagem que você enviou.
Passo 4
Avaliação da integral de linha por segmentos. A integral total é a soma das integrais nos quatro lados:
Agora analisamos cada termo:
- No trecho
(dentro do solenoide e paralelo a ) temos praticamente constante e paralelo a , então , onde é o comprimento do lado. - Nos trechos
e (perpendicular ao eixo) o vetor é perpendicular a , logo e as integrais são zero. - No trecho
(fora do solenoide, paralelo ao eixo) o enunciado e a figura indicam que o campo fora é aproximadamente zero, então .
Portanto a integral de linha reduz-se a:
Passo 5
Determinação da corrente envolvida
. A superfície limitada pela amperiana corta várias espiras do solenoide: cada espira que cruza a superfície contribui com corrente
atravessando a superfície. Se dentro do comprimento
existem
espiras, então a corrente total envolvida é
Mas como foi dado que
é o número de espiras por unidade de comprimento (espiras por metro), o número de espiras em comprimento
é
Logo
Aqui é importante entender:
tem unidade
, multiplicando por
(m) dá número adimensional de espiras interceptadas.
Passo 6
Aplicando Ampère com o resultado dos passos anteriores:
Cancelando
(desde que
) obtemos a expressão do campo magnético dentro do solenoide:
Passo 7
Interpretação e condições de validade:
- A expressão
diz que o campo médio dentro de um solenoide longo e bem enrolado é proporcional à corrente em cada espira e à densidade de espiras . - Observação prática: a dedução assume que o solenoide está no vácuo (ou ar). Se o núcleo for um material magnético com permeabilidade relativa
, substitui-se por . - Limitação: válido em pontos internos afastados das extremidades, onde os efeitos de borda (fringe fields) são desprezíveis. Para solenoide finito perto das extremidades, o campo varia e essa aproximação perde precisão.
- Nota útil: a fórmula não depende do raio do solenoide; para um solenoide longo o campo interno é praticamente uniforme e independente da área das espiras.
Passo 8
Exemplo numérico concreto (para fixar a ideia). Suponha
e
. Use
.
Calcule passo a passo:
Ou seja, cerca de
(0,63 mT).
Passo 9
Dicas para a prova (como justificar rapidamente e sem erro):
- Desenhe a amperiana de forma que um lado fique totalmente dentro do solenoide e o lado oposto fique fora, e os outros dois lados sejam perpendiculares ao eixo. Isso torna as integrais fáceis de avaliar.
- Explique por que os termos nas laterais dão zero: produto escalar
quando . - Mostre que fora do solenoide
(ou explique que é desprezível) para justificar a integral do lado externo nula. - Calcule
e escreva antes de substituir na lei de Ampère. - Se pedirem direção do campo, use a regra da mão direita: os dedos apontam na direção da corrente enrolada e o polegar indica o sentido de
ao longo do eixo.