CAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO POR UM SOLENOIDE
Um solenoide é uma hélice em que o passo é muito pequeno. O campo magnético produzido por um solenoide será a soma vetorial dos campos produzidos pelas espiras:
O campo:
Tende a se cancelar no espaço entre as espiras;
No centro do solenoide, ponto P_{1}, é aproximadamente uniforme;
E na parte de fora, no ponto P_{2}, é aproximadamente desprezível.
No interior do solenoide, em pontos afastados das espiras, o campo B é aproximadamente paralelo ao eixo central do solenoide;
Aplicando a lei de Ampère, usando como amperiana o retângulo (abcda), temos:
\oint \vec{B} \cdot d \vec{s}=\int_{a}^{b} \vec{B} \cdot d \vec{s}+\int_{b}^{c} \vec{B} \cdot d \vec{s}+\int_{c}^{d} \vec{B} \cdot d \vec{s}+\int_{d}^{a} \vec{B} \cdot d \vec{s}
\oint \vec{B} \cdot d \vec{s}=\int_{a}^{b} \vec{B} \cdot d \vec{s}+\int_{b}^{c} \vec{B} \cdot d \vec{s}+\int_{c}^{d} \vec{B} \cdot d \vec{s}+\int_{d}^{a} \vec{B} \cdot d \vec{s}
A primeira integral é igual a Bh , a segunda e a quarta são iguais a zero, porque B é perpendicular a ds. A terceira também é igual a zero pois B é igual a zero (na parte de fora).
\oint \vec{B} \cdot d \vec{s}=B h
A corrente envolvida ( i_{\text {env }} ) será igual a corrente de uma espira (i) multiplicada pelo número total de espiras N.
i_{e n v}=i N
Se o solenoide apresenta n espiras em cada unidade de comprimento L, temos um número ( N ) de espiras na amperiana (h) equivalente a ( N=n h ):
Logo, o campo magnético pode ser escrito como:
B h=\mu_{0} i n h
Logo,
B=\mu_{0} i n
Esse resultado é válido para campos magnéticos internos, afastados das extremidades do solenoide;
Note que o campo independe do raio do solenoide, logo, não depende da sua área.

Passo 1

O enunciado pede para obter o campo magnético no interior de um solenoide longo (em pontos afastados das extremidades) e mostra um raciocínio usando a lei de Ampère. As informações relevantes fornecidas são:
  • O solenoide é formado por muitas espiras próximas (passo pequeno), de modo que o campo no seu interior é aproximadamente uniforme e paralelo ao eixo.
  • Fora do solenoide o campo é aproximadamente desprezível (em pontos afastados das espiras).
  • Há uma corrente em cada espira igual a i.
  • O solenoide tem densidade de espiras por unidade de comprimento igual a n (espiras por metro).
  • Na figura foi desenhada uma amperiana retangular de lados a\to b\to c\to d\to a com comprimento interno h (lado a\to b tem comprimento h). Eu peguei essas informações e a geometria da amperiana da imagem que você enviou.
    A tarefa implícita é usar a lei de Ampère para calcular B no interior do solenoide (em pontos afastados das extremidades).

Passo 2

Apresentando a ferramenta: a lei de Ampère. Ela diz que a integral de linha do campo magnético ao longo de uma curva fechada (a amperiana) é igual a \mu_0 vezes a corrente total que atravessa a superfície limitada por essa curva. Em fórmula:
\oint \vec{B}\cdot d\vec{s}=\mu_0 i_{\text{env}}
Explicando os símbolos:
  • \oint \vec{B}\cdot d\vec{s} é a integral de linha do vetor campo magnético \vec{B} ao longo do contorno fechado escolhido (produto escalar com o elemento de comprimento d\vec{s}).
  • \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\\ \text{T}\cdot\text{m}/\text{A}).
  • i_{\text{env}} é a soma das correntes que atravessam a superfície delimitada pela amperiana (correntes “enclausuradas”).

Passo 3

Escolha da amperiana (com base na figura): escolhemos um retângulo cujos lados são paralelos e perpendiculares ao eixo do solenoide, de modo que:
  • O lado interno a\to b fica completamente dentro do solenoide, paralelo ao eixo, e tem comprimento h.
  • O lado externo c\to d fica fora do solenoide, paralelo ao eixo, também com comprimento h.
  • Os lados b\to c e d\to a são perpendiculares ao eixo.
    Essa escolha é conveniente porque, conforme a figura, no interior do solenoide \vec{B} é aproximadamente uniforme e paralelo ao eixo; fora do solenoide \vec{B} é desprezível; e nos lados perpendiculares o vetor \vec{B} é perpendicular ao deslocamento d\vec{s}. Eu peguei a geometria exata do retângulo da imagem que você enviou.

Passo 4

Avaliação da integral de linha por segmentos. A integral total é a soma das integrais nos quatro lados:
\oint \vec{B}\cdot d\vec{s}=\int_{a}^{b}\vec{B}\cdot d\vec{s}+\int_{b}^{c}\vec{B}\cdot d\vec{s}+\int_{c}^{d}\vec{B}\cdot d\vec{s}+\int_{d}^{a}\vec{B}\cdot d\vec{s}.
Agora analisamos cada termo:
  • No trecho a\to b (dentro do solenoide e paralelo a \vec{B}) temos \vec{B} praticamente constante e paralelo a d\vec{s}, então \int_{a}^{b}\vec{B}\cdot d\vec{s}=B\cdot h, onde h é o comprimento do lado.
  • Nos trechos b\to c e d\to a (perpendicular ao eixo) o vetor \vec{B} é perpendicular a d\vec{s}, logo \vec{B}\cdot d\vec{s}=0 e as integrais são zero.
  • No trecho c\to d (fora do solenoide, paralelo ao eixo) o enunciado e a figura indicam que o campo fora é aproximadamente zero, então \int_{c}^{d}\vec{B}\cdot d\vec{s}\approx 0.
    Portanto a integral de linha reduz-se a:
\oint \vec{B}\cdot d\vec{s}=B\,h.

Passo 5

Determinação da corrente envolvida i_{\text{env}}. A superfície limitada pela amperiana corta várias espiras do solenoide: cada espira que cruza a superfície contribui com corrente i atravessando a superfície. Se dentro do comprimento h existem N espiras, então a corrente total envolvida é
i_{\text{env}}=i\,N.
Mas como foi dado que n é o número de espiras por unidade de comprimento (espiras por metro), o número de espiras em comprimento h é
N=n\,h.
Logo
i_{\text{env}}=i\,n\,h.
Aqui é importante entender: n tem unidade \text{espiras}/\text{m}, multiplicando por h (m) dá número adimensional de espiras interceptadas.

Passo 6

Aplicando Ampère com o resultado dos passos anteriores:
\oint \vec{B}\cdot d\vec{s}=B\,h=\mu_0 i_{\text{env}}=\mu_0 (i\,n\,h).
Cancelando h (desde que h\neq 0) obtemos a expressão do campo magnético dentro do solenoide:
B=\mu_0 i n.

Passo 7

Interpretação e condições de validade:
  • A expressão \displaystyle B=\mu_0 i n diz que o campo médio dentro de um solenoide longo e bem enrolado é proporcional à corrente em cada espira e à densidade de espiras n.
  • Observação prática: a dedução assume que o solenoide está no vácuo (ou ar). Se o núcleo for um material magnético com permeabilidade relativa \mu_r, substitui-se \mu_0 por \mu=\mu_0\mu_r.
  • Limitação: válido em pontos internos afastados das extremidades, onde os efeitos de borda (fringe fields) são desprezíveis. Para solenoide finito perto das extremidades, o campo varia e essa aproximação perde precisão.
  • Nota útil: a fórmula não depende do raio do solenoide; para um solenoide longo o campo interno é praticamente uniforme e independente da área das espiras.

Passo 8

Exemplo numérico concreto (para fixar a ideia). Suponha n=1000\\ \text{espiras/m} e i=0{,}5\\ \text{A}. Use \mu_0=4\pi\times 10^{-7}\\ \text{T}\cdot\text{m}/\text{A}.
B=\mu_0 i n=4\pi\times 10^{-7}\cdot 0{,}5\cdot 1000.
Calcule passo a passo:
4\pi\times 10^{-7}\cdot 0{,}5\cdot 1000=4\pi\times 10^{-7}\cdot 500=2\pi\times 10^{-4}\\ \text{T}\approx 6{,}28\times 10^{-4}\\ \text{T}.
Ou seja, cerca de 6{,}3\times 10^{-4}\\ \text{T} (0,63 mT).

Passo 9

Dicas para a prova (como justificar rapidamente e sem erro):
  • Desenhe a amperiana de forma que um lado fique totalmente dentro do solenoide e o lado oposto fique fora, e os outros dois lados sejam perpendiculares ao eixo. Isso torna as integrais fáceis de avaliar.
  • Explique por que os termos nas laterais dão zero: produto escalar \vec{B}\cdot d\vec{s}=0 quando \vec{B}\perp d\vec{s}.
  • Mostre que fora do solenoide \vec{B}\approx 0 (ou explique que é desprezível) para justificar a integral do lado externo nula.
  • Calcule i_{\text{env}}=i\cdot N e escreva N=n h antes de substituir na lei de Ampère.
  • Se pedirem direção do campo, use a regra da mão direita: os dedos apontam na direção da corrente enrolada e o polegar indica o sentido de \vec{B} ao longo do eixo.

Resposta

B=\mu_{0} i n

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