Qual a força, em módulo e direção, sobre um elétron com a velocidade \vec{v}=(2 \hat{i}-3 \hat{j}) \times 10^{6} \mathrm{~m} / \mathrm{s} num campo magnético \vec{B}=(0,8 \hat{i}+0,6 \hat{j}-0,4 \hat{k}) \mathrm{T} ?

Passo 1

O problema pede a força (em módulo e direção) sobre um elétron quando ele tem velocidade \vec{v} e está num campo magnético \vec{B}. Dados fornecidos:
\vec{v} = (2\hat{i}-3\hat{j})\times 10^{6}\\ \mathrm{m/s}
\vec{B} = (0{,}8\hat{i}+0{,}6\hat{j}-0{,}4\hat{k})\\ \mathrm{T}
Perguntas explícitas:
  • Qual o módulo de \vec{F}, a força magnética sobre o elétron?
  • Qual a direção de \vec{F} (vetor unitário)?

Passo 2

Fórmula e significado das grandezas: a força magnética (força de Lorentz, só magnética aqui) sobre uma carga elétrica em movimento é
\vec{F} = q\,\vec{v}\times\vec{B},
onde:
  • \vec{F} é a força (unidade: N),
  • q é a carga da partícula (unidade: C),
  • \vec{v} é a velocidade (unidade: m/s),
  • \vec{B} é o campo magnético (unidade: T),
  • \times é o produto vetorial (cross product).
Para um elétron, a carga é negativa:
q = -e = -1{,}602\times 10^{-19}\\ \mathrm{C}.
Observação importante: o sinal negativo significa que a direção da força será oposta à direção de \vec{v}\times\vec{B}.
Vou primeiro calcular \vec{v}\times\vec{B} e depois multiplicar por q.

Passo 3

Escrevo as componentes numéricas para facilitar:
\vec{v}=(v_x,v_y,v_z)=(2{,}0\times10^{6},\,-3{,}0\times10^{6},\,0)\\ \mathrm{m/s},
\vec{B}=(B_x,B_y,B_z)=(0{,}8,\,0{,}6,\,-0{,}4)\\ \mathrm{T}.
Definição do produto vetorial usando determinante:
\vec{v}\times\vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k}\\[4pt] v_x & v_y & v_z\\[4pt] B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}.
As componentes são
(\vec{v}\times\vec{B})_x = v_y B_z - v_z B_y,
(\vec{v}\times\vec{B})_y = v_z B_x - v_x B_z,
(\vec{v}\times\vec{B})_z = v_x B_y - v_y B_x.]

Passo 4

Calculo cada componente substituindo os números:
Componente x:
(\vec{v}\times\vec{B})_x = v_y B_z - v_z B_y = (-3{,}0\times10^{6})(-0{,}4) - 0\cdot 0{,}6 = 1{,}2\times10^{6}.
Componente y:
(\vec{v}\times\vec{B})_y = v_z B_x - v_x B_z = 0\cdot 0{,}8 - (2{,}0\times10^{6})(-0{,}4) = 0{,}8\times10^{6}.
Componente z:
(\vec{v}\times\vec{B})_z = v_x B_y - v_y B_x = (2{,}0\times10^{6})(0{,}6) - (-3{,}0\times10^{6})(0{,}8)
\qquad = 1{,}2\times10^{6} + 2{,}4\times10^{6} = 3{,}6\times10^{6}.
Portanto
\vec{v}\times\vec{B} = \bigl(1{,}2\times10^{6},\;0{,}8\times10^{6},\;3{,}6\times10^{6}\bigr).

Passo 5

Agora multiplico pelo q do elétron:
\vec{F} = q(\vec{v}\times\vec{B}) = -1{,}602\times10^{-19}\times \bigl(1{,}2\times10^{6},\;0{,}8\times10^{6},\;3{,}6\times10^{6}\bigr).
Multiplicando componente a componente:
F_x = -1{,}602\times10^{-19}\times 1{,}2\times10^{6} = -1{,}9224\times10^{-13}\\ \mathrm{N},
F_y = -1{,}602\times10^{-19}\times 0{,}8\times10^{6} = -1{,}2816\times10^{-13}\\ \mathrm{N},
F_z = -1{,}602\times10^{-19}\times 3{,}6\times10^{6} = -5{,}7672\times10^{-13}\\ \mathrm{N}.
Assim:
\vec{F}=(-1{,}9224\times10^{-13}\,\hat{i},\;-1{,}2816\times10^{-13}\,\hat{j},\;-5{,}7672\times10^{-13}\,\hat{k})\\ \mathrm{N}.

Passo 6

Cálculo do módulo |\vec{F}|. Uma forma prática é usar |\vec{F}|=|q|\,|\vec{v}\times\vec{B}|.
Primeiro |\vec{v}\times\vec{B}|:
|\vec{v}\times\vec{B}| = \sqrt{(1{,}2\times10^{6})^{2}+(0{,}8\times10^{6})^{2}+(3{,}6\times10^{6})^{2}}.
\qquad = \sqrt{1{,}44\times10^{12}+0{,}64\times10^{12}+12{,}96\times10^{12}} = \sqrt{15{,}04\times10^{12}}
\qquad = \sqrt{15{,}04}\times10^{6}\approx 3{,}878\times10^{6}.
Agora o módulo da força:
|\vec{F}| = |q|\,|\vec{v}\times\vec{B}| = 1{,}602\times10^{-19}\times 3{,}878\times10^{6}
\qquad \approx 6{,}213\times10^{-13}\\ \mathrm{N}.
Direção (vetor unitário): divido \vec{F} por |\vec{F}|:
\hat{u}_F = \frac{\vec{F}}{|\vec{F}|} \approx \bigl(-0{,}310\,\hat{i},\;-0{,}206\,\hat{j},\;-0{,}928\,\hat{k}\bigr).
Observação: os componentes negativos aparecem porque q é negativo — a força aponta no sentido oposto a \vec{v}\times\vec{B}.

Resposta

|\vec{F}| = 6{,}213\times10^{-13}\\ \mathrm{N}\n
\hat{u}_F \approx -0{,}310\,\hat{i}-0{,}206\,\hat{j}-0{,}928\,\hat{k}

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