CAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO POR CARGAS EM MOVIMENTO
Observações experimentais mostraram que uma partícula em movimento origina um campo magnético tal que:
O vetor \vec{B} é perpendicular ao plano formado pelos vetores (\vec{r} e \vec{v});
O módulo do vetor \vec{B} é proporcional à carga q, a velocidade (\vec{v}), ao inverso do quadrado da distância \left(\frac{1}{r^{2}}\right) e ao seno do ângulo formado entre \vec{r} e \vec{v}.
\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{q \vec{v} \times \hat{r}}{r^{2}}
Onde \frac{\mu_{0}}{4 \pi}=10^{-7} T.m/A é uma constante magnética (algo análogo ao k em eletrostática).
E \mu_{0}=4 \pi \cdot 10^{-7} T \cdot m / A (constante chamada de permeabilidade magnética no vácuo*)
*Cuidado para não confundir com momento magnético.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (vamos organizar direitinho para não se perder):\n
  • Temos uma carga pontual q em movimento com velocidade \vec{v}.\n
  • Queremos o campo magnético \vec{B} no ponto P localizado a uma distância r da carga, ao longo do vetor \hat{r} (veja a figura).\n
  • O enunciado já fornece a fórmula a ser usada:
\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{q\,\vec{v}\times\hat{r}}{r^{2}}.
  • Precisamos obter o módulo de \vec{B} (ou seja, |\vec{B}|) e a direção de \vec{B} no ponto P. Essas são as perguntas implícitas na figura (magnitude e sentido do campo no ponto indicado).

Passo 2

Entendendo o produto vetorial \vec{v}\times\hat{r}: conceito e fórmula para o módulo\n
  • O produto vetorial (ou cross product) entre dois vetores \vec{a} e \vec{b} é outro vetor perpendicular ao plano formado por \vec{a} e \vec{b}.\n
  • O módulo do produto vetorial é dado por
|\vec{a}\times\vec{b}|=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\,\sin\varphi,
onde \varphi é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}. Esse resultado vem da definição geométrica do produto vetorial: área do paralelogramo formado por \vec{a} e \vec{b}.\n
  • No nosso caso \vec{a}=\vec{v} e \vec{b}=\hat{r}. Como \hat{r} é um vetor unitário, |\hat{r}|=1. Se o ângulo entre \vec{v} e \hat{r} é \theta (conforme a figura), então
|\vec{v}\times\hat{r}|=|\vec{v}|\,|\hat{r}|\,\sin\theta=v\cdot 1\cdot\sin\theta=v\sin\theta.

Passo 3

Derivando o módulo de \vec{B} passo a passo\n
  • Substituímos a expressão do módulo do produto vetorial na fórmula de \vec{B}. A constante \mu_0/(4\pi) e q são escalares, então o módulo de \vec{B} é
|\vec{B}|=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{|q|\,|\vec{v}\times\hat{r}|}{r^{2}}.
  • Usando o resultado do Passo 2:
|\vec{B}|=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{|q|\,v\sin\theta}{r^{2}}.
  • Observação importante sobre o valor de q: aqui coloquei |q| no módulo porque o módulo é sempre positivo; o sinal de q determina a direção do vetor \vec{B} (ver Passo 5).

Passo 4

Interpretando \hat{r} e r^{2} (o que são e como calcular na prova)\n
  • \hat{r} é o vetor unitário que aponta do local da carga para o ponto P. Se o vetor posição do ponto P relativo à carga for \vec{r}, então
\hat{r}=\frac{\vec{r}}{r},\qquad r=|\vec{r}|.
  • Por isso a fórmula original frequentemente aparece como
\vec{B}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{q\,\vec{v}\times\vec{r}}{r^{3}},
pois \vec{v}\times\hat{r}=(\vec{v}\times\vec{r})/r. Ambas as formas são equivalentes e úteis dependendo de quais vetores você tem na prova.

Passo 5

Como determinar a direção (sentido) de \vec{B} na prática — regra da mão direita e caso da figura\n
  • A direção de \vec{B} é a direção do vetor \vec{v}\times\hat{r} multiplicado por q. Para um q>0, \vec{B} tem a mesma direção de \vec{v}\times\hat{r}. Para um q<0, o sentido é o oposto.\n
  • Regra prática (mão direita): coloque os dedos apontando na direção de \vec{v} e dobre-os até apontarem na direção de \hat{r}; o polegar estendido indica a direção de \vec{v}\times\hat{r}.\n
  • Aplicando isso à figura: escolha um sistema com x para a direita e y para cima. Suponha que \hat{r} está ao longo do eixo +x (para a direita) e \vec{v} tem componente positiva em y (para cima). Então, calculando analiticamente:
\vec{v}=(v_x,v_y,0),\qquad \hat{r}=(1,0,0),
\vec{v}\times\hat{r}=(0,0,-v_y).
Isso significa um componente negativo em z, ou seja, para dentro da página (representado por um \times na figura). Portanto:\n
  • Se q>0: \vec{B} aponta para dentro da página (símbolo \times mostrado);\n
  • Se q<0: \vec{B} aponta para fora da página (símbolo \odot equivalente).

Passo 6

Casos especiais e intuição física (o que acontece com \theta=0^\circ e \theta=90^\circ)\n
  • Se \theta=0^\circ (velocidade paralela a \hat{r}): \sin\theta=0 então |\vec{B}|=0. Intuição: não há componente perpendicular entre \vec{v} e \hat{r}, logo nenhum campo magnético naquele ponto.\n
  • Se \theta=90^\circ (velocidade perpendicular a \hat{r}): \sin\theta=1 então
|\vec{B}|=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{|q|\,v}{r^{2}},
que é o máximo para uma dada v e r.\n
  • Se q muda de sinal, tudo o que muda é o sentido de \vec{B}; o módulo permanece com |q|.

Passo 7

Unidades e verificação rápida de dimensão (como checar na prova sem errar)\n
  • A unidade de \mu_0 é \mathrm{T\cdot m/A}. A expressão
\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{qv}{r^{2}}
tem unidades:
\mathrm{(T\cdot m/A)}\cdot\frac{\mathrm{C}\cdot(\mathrm{m/s})}{\mathrm{m^{2}}}=\mathrm{T}\cdot\frac{\mathrm{C}}{\mathrm{A\cdot s}}=\mathrm{T},
pois 1\\ \mathrm{A}=1\\ \mathrm{C/s}. Isso confirma que o resultado tem unidade de tesla ( \mathrm{T}). Bom para checar em prova se estiver em dúvida.

Passo 8

Exemplo numérico rápido (para fixar): suponha q=1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}, v=2{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}, r=0{,}10\\ \mathrm{m}, \theta=60^\circ\n
  • Primeiro calcule \sin\theta=\sin60^\circ=\sqrt{3}/2\approx0{,}866.\n
  • Use \mu_{0}/(4\pi)=10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}.\n
  • Então
|\vec{B}|=10^{-7}\cdot\frac{(1{,}0\times10^{-6})\,(2{,}0\times10^{5})\,(0{,}866)}{(0{,}10)^{2}}.
  • Calcule passo a passo: numerador =1{,}0\times10^{-6}\cdot2{,}0\times10^{5}\cdot0{,}866=1{,}732\times10^{-1}. Multiplicando por 10^{-7} 1{,}732\times10^{-8}. Dividindo por 0{,}01 (que é r^{2}) dá 1{,}732\times10^{-6}\\ \mathrm{T}.\n
  • Resultado: |\vec{B}|\approx1{,}7\times10^{-6}\\ \mathrm{T}, direção para dentro da página se q>0.

Resposta

\displaystyle |\vec{B}|=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\,\frac{|q|\,v\sin\theta}{r^{2}}\n
Direção: para dentro da página (símbolo \times na figura) se q>0; se q<0, o sentido é o oposto (para fora da página).

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