FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DA LEI DE AMPÈRE
O sentido de integração é escolhido de forma arbitrária.
Passo 1
O enunciado nos dá a forma integral da lei de Ampère:
e uma figura com uma curva fechada (a “amperiana”) e três correntes indicadas por
,
e
. O enunciado afirma que o sentido de integração é escolhido arbitrariamente. O que precisamos entender e explicar é: o que significa cada termo dessa expressão, como escolher o sentido de integração e como contar os sinais das correntes que atravessam a superfície limitada pela amperiana (ou seja, como calcular
). A figura foi fornecida; eu estou usando os rótulos
que aparecem na imagem, mas não tenho certeza absoluta de quais desses fios estão dentro ou fora da amperiana só pela miniatura — por isso vou explicar a regra geral e como aplicar à figura se você confirmar quais estão dentro. Não vou resolver nada ainda, só enumerei o pedido e os dados.
Passo 2
Explicação do que é a integral de linha
.
-
é o campo magnético num ponto ao longo da curva fechada. -
é um vetor tangente à curva em cada ponto, com magnitude igual ao comprimento do pequeno segmento da curva e direção do sentido escolhido de integração. - O produto escalar
mede a componente de paralela ao deslocamento tangencial . Se é o ângulo entre e , então . - A integral de linha fechada
soma esses produtos ao longo de toda a curva fechada, ou seja, calcula a circulação do campo magnético ao redor do caminho.
Aula curta: circulação é uma medida de quanto o campo “gira” ao redor de um caminho. Valores positivos/negativos dependem do sentido escolhido para
.
Passo 3
Explicação do que é
e da constante
.
-
é a permeabilidade do vácuo; é uma constante universal igual a . Ela serve para ligar unidades entre corrente elétrica (ampère) e campo magnético. -
é a corrente elétrica total “envolvida” (ou atravessando) a superfície cuja fronteira é a curva de integração. Mais precisamente, pegue qualquer superfície imaginária cuja borda seja a curva fechada; conte todas as correntes que atravessam essa superfície. é a soma algébrica dessas correntes (com sinais, veja abaixo).
Aula curta: a lei relaciona a circulação do campo magnético ao fluxo de corrente elétrica que passa pelo interior do laço — é um análogo magnético da lei de Ampère para campos gerados por correntes.
Passo 4
Regra do sinal: como decidir se uma corrente que atravessa a superfície contribui com sinal positivo ou negativo para
.
- Primeiro você escolhe um sentido de integração para a curva (o sentido de
). Isso é arbitrário. - Use a regra da mão direita para relacionar sentido de
a um vetor normal à superfície: se você desenrola os dedos da mão direita no sentido de integração, o polegar aponta para a direção do vetor normal associado (esta é a orientação da superfície segundo a convenção de Stokes). - Uma corrente que atravessa a superfície no mesmo sentido do polegar é contada com sinal positivo; se atravessa no sentido oposto ao polegar, é contada com sinal negativo.
- Em notação:
onde
se
atravessa no sentido do polegar, e
caso contrário.
Aula curta com figura mental: se o seu sentido de integração for anti-horário (vista de cima), então correntes saindo da página (símbolo
) correspondem a
e correntes entrando na página (símbolo
) correspondem a
, assumindo que o “polegar” aponta para fora da página.
Passo 5
Aplicação simples da regra à figura (com aviso de incerteza sobre inclusão na amperiana).
- Na imagem vejo correntes rotuladas como
(símbolo , saindo da página), (símbolo , entrando na página) e (símbolo , saindo). Porém, não tenho certeza absoluta quais desses fios estão completamente dentro da superfície limitada pela curva (a miniatura pode enganar). Se todos três estiverem atravessando a superfície limitada pela amperiana, então, escolhendo o sentido de integração indicado pela seta vermelha da figura e aplicando a regra do polegar, normalmente teremos
mas isto vale somente se
e
realmente atravessam a superfície no sentido do polegar e
atravessa no sentido oposto — confirme quais fios a curva envolve antes de usar essa soma.
Passo 6
Exemplo didático: fio retilíneo infinito (a aplicação mais clássica para calcular o módulo de
).
Problema: encontrar
à distância radial
de um fio infinito que transporta corrente
.
-
Escolha de simetria: para um fio retilíneo infinito o campo magnético é tangencial a círculos concêntricos com o fio e tem magnitude que depende só de
. Então escolhemos como amperiana um círculo de raio centrado no fio. -
Escrevendo a integral de linha:
porque
e
é tangencial e paralelo a
(ângulo zero,
).
- Pelo enunciado da lei de Ampère:
Aula curta: a escolha da amperiana explorou a simetria para fazer
constante ao longo da curva, o que torna a integral trivial.
Passo 7
Exemplo didático: solenoide longo e toróide (resumo rápido, sem demonstrar cada passo óbvio).
-
Solenoide longo (n espiras por unidade de comprimento, corrente
):
escolha a amperiana retangular que atravessa o interior: dentro do solenoide o campo é praticamente uniforme e ao longo do eixo; fora é (aproximadamente) zero para solenoide longo. Aplicando Ampère:Aquié o comprimento do trecho do laço dentro do solenoide; é a corrente total das espiras atravessando a superfície. -
Toróide: campo azimutal interno, escolha amperiana circular concêntrica; obtemosonde
é o número de espiras atravessando a superfície limitada pela amperiana.
Esses são exemplos de como a lei é usada em provas: escolha amperiana aproveitando simetria, torne
simples, e calcule
.
Passo 8
Conexão com a forma diferencial (uma “aula extra” curta e intuitiva).
- Pelo teorema de Stokes, a integral de linha de um campo ao longo da borda de uma superfície é igual à integral da componente normal do rotacional do campo sobre a superfície:
- Pela lei integral de Ampère isso é igual a
, onde é a densidade de corrente superficial volumétrica (isto é, a corrente por unidade de área). Portanto, como isso vale para qualquer superfície:
- Esta é a forma diferencial da lei de Ampère (sem correntes de deslocamento). Em linguagem simples: o rotacional de
num ponto é proporcional à densidade de corrente naquele ponto.
Passo 9
Dicas práticas para a prova (motivação e truques):
- Sempre desenhe a amperiana e marque o sentido de integração com uma seta. Depois desenhe o polegar da mão direita para saber quais correntes são positivas.
- Identifique rapidamente a simetria (circular, cilíndrica, translacional). Se
for constante ao longo da amperiana ou proporcional a uma função simples, a integral fica fácil. - Conte apenas as correntes que atravessam a superfície cujo bordo é a amperiana — se um fio passa por fora da curva, ele não contribui.
- Se a questão tiver correntes distribuídas (densidade de corrente), transforme em integral de superfície de
para obter .