FORMULAÇÃO MATEMÁTICA DA LEI DE AMPÈRE
\oint \vec{B} \cdot d \vec{s}=\mu_{0} i_{e n v}
O sentido de integração é escolhido de forma arbitrária.

Passo 1

O enunciado nos dá a forma integral da lei de Ampère:
\oint \vec{B}\cdot d\vec{s}=\mu_{0}\,i_{\text{env}}
e uma figura com uma curva fechada (a “amperiana”) e três correntes indicadas por i_{1}, i_{2} e i_{3}. O enunciado afirma que o sentido de integração é escolhido arbitrariamente. O que precisamos entender e explicar é: o que significa cada termo dessa expressão, como escolher o sentido de integração e como contar os sinais das correntes que atravessam a superfície limitada pela amperiana (ou seja, como calcular i_{\text{env}}). A figura foi fornecida; eu estou usando os rótulos i_{1},i_{2},i_{3} que aparecem na imagem, mas não tenho certeza absoluta de quais desses fios estão dentro ou fora da amperiana só pela miniatura — por isso vou explicar a regra geral e como aplicar à figura se você confirmar quais estão dentro. Não vou resolver nada ainda, só enumerei o pedido e os dados.

Passo 2

Explicação do que é a integral de linha \displaystyle \oint \vec{B}\cdot d\vec{s}.
  • \vec{B} é o campo magnético num ponto ao longo da curva fechada.
  • d\vec{s} é um vetor tangente à curva em cada ponto, com magnitude igual ao comprimento do pequeno segmento da curva e direção do sentido escolhido de integração.
  • O produto escalar \vec{B}\cdot d\vec{s} mede a componente de \vec{B} paralela ao deslocamento tangencial d\vec{s}. Se \theta é o ângulo entre \vec{B} e d\vec{s}, então \vec{B}\cdot d\vec{s}=B\,\cos\theta\,ds.
  • A integral de linha fechada \displaystyle \oint soma esses produtos ao longo de toda a curva fechada, ou seja, calcula a circulação do campo magnético ao redor do caminho.
Aula curta: circulação é uma medida de quanto o campo “gira” ao redor de um caminho. Valores positivos/negativos dependem do sentido escolhido para d\vec{s}.

Passo 3

Explicação do que é i_{\text{env}} e da constante \mu_{0}.
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo; é uma constante universal igual a \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{T\cdot m/A}. Ela serve para ligar unidades entre corrente elétrica (ampère) e campo magnético.
  • i_{\text{env}} é a corrente elétrica total “envolvida” (ou atravessando) a superfície cuja fronteira é a curva de integração. Mais precisamente, pegue qualquer superfície imaginária cuja borda seja a curva fechada; conte todas as correntes que atravessam essa superfície. i_{\text{env}} é a soma algébrica dessas correntes (com sinais, veja abaixo).
Aula curta: a lei relaciona a circulação do campo magnético ao fluxo de corrente elétrica que passa pelo interior do laço — é um análogo magnético da lei de Ampère para campos gerados por correntes.

Passo 4

Regra do sinal: como decidir se uma corrente que atravessa a superfície contribui com sinal positivo ou negativo para i_{\text{env}}.
  • Primeiro você escolhe um sentido de integração para a curva (o sentido de d\vec{s}). Isso é arbitrário.
  • Use a regra da mão direita para relacionar sentido de d\vec{s} a um vetor normal à superfície: se você desenrola os dedos da mão direita no sentido de integração, o polegar aponta para a direção do vetor normal associado (esta é a orientação da superfície segundo a convenção de Stokes).
  • Uma corrente que atravessa a superfície no mesmo sentido do polegar é contada com sinal positivo; se atravessa no sentido oposto ao polegar, é contada com sinal negativo.
  • Em notação:
i_{\text{env}}=\sum_{k} \varepsilon_{k}\,i_{k},
onde \varepsilon_{k}=+1 se i_{k} atravessa no sentido do polegar, e \varepsilon_{k}=-1 caso contrário.
Aula curta com figura mental: se o seu sentido de integração for anti-horário (vista de cima), então correntes saindo da página (símbolo \odot) correspondem a \varepsilon=+1 e correntes entrando na página (símbolo \otimes) correspondem a \varepsilon=-1, assumindo que o “polegar” aponta para fora da página.

Passo 5

Aplicação simples da regra à figura (com aviso de incerteza sobre inclusão na amperiana).
  • Na imagem vejo correntes rotuladas como i_{1} (símbolo \odot, saindo da página), i_{2} (símbolo \otimes, entrando na página) e i_{3} (símbolo \odot, saindo). Porém, não tenho certeza absoluta quais desses fios estão completamente dentro da superfície limitada pela curva (a miniatura pode enganar). Se todos três estiverem atravessando a superfície limitada pela amperiana, então, escolhendo o sentido de integração indicado pela seta vermelha da figura e aplicando a regra do polegar, normalmente teremos
i_{\text{env}}=+i_{1}-i_{2}+i_{3},
mas isto vale somente se i_{1} e i_{3} realmente atravessam a superfície no sentido do polegar e i_{2} atravessa no sentido oposto — confirme quais fios a curva envolve antes de usar essa soma.

Passo 6

Exemplo didático: fio retilíneo infinito (a aplicação mais clássica para calcular o módulo de \vec{B}).
Problema: encontrar B(r) à distância radial r de um fio infinito que transporta corrente I.
  1. Escolha de simetria: para um fio retilíneo infinito o campo magnético é tangencial a círculos concêntricos com o fio e tem magnitude que depende só de r. Então escolhemos como amperiana um círculo de raio r centrado no fio.
  2. Escrevendo a integral de linha:
\oint \vec{B}\cdot d\vec{s} = \int_{0}^{2\pi} B(r)\,(ds) = B(r)\int_{0}^{2\pi} r\,d\varphi = B(r)\,2\pi r,
porque ds=r\,d\varphi e \vec{B} é tangencial e paralelo a d\vec{s} (ângulo zero, \cos 0=1).
  1. Pelo enunciado da lei de Ampère:
B(r)\,2\pi r = \mu_{0} I \quad\Rightarrow\quad B(r)=\frac{\mu_{0} I}{2\pi r}.
Aula curta: a escolha da amperiana explorou a simetria para fazer B constante ao longo da curva, o que torna a integral trivial.

Passo 7

Exemplo didático: solenoide longo e toróide (resumo rápido, sem demonstrar cada passo óbvio).
  • Solenoide longo (n espiras por unidade de comprimento, corrente I):
    escolha a amperiana retangular que atravessa o interior: dentro do solenoide o campo é praticamente uniforme e ao longo do eixo; fora é (aproximadamente) zero para solenoide longo. Aplicando Ampère:
    B_{\text{dentro}}\,\ell = \mu_{0}\,n\ell\,I \quad\Rightarrow\quad B_{\text{dentro}}=\mu_{0} n I.
    Aqui \ell é o comprimento do trecho do laço dentro do solenoide; n\ell I é a corrente total das espiras atravessando a superfície.
  • Toróide: campo azimutal interno, escolha amperiana circular concêntrica; obtemos
    B(r)\,2\pi r = \mu_{0}\,N_{\text{enc}}\,I,
    onde N_{\text{enc}} é o número de espiras atravessando a superfície limitada pela amperiana.
Esses são exemplos de como a lei é usada em provas: escolha amperiana aproveitando simetria, torne \vec{B}\cdot d\vec{s} simples, e calcule i_{\text{env}}.

Passo 8

Conexão com a forma diferencial (uma “aula extra” curta e intuitiva).
  • Pelo teorema de Stokes, a integral de linha de um campo ao longo da borda de uma superfície é igual à integral da componente normal do rotacional do campo sobre a superfície:
\oint \vec{B}\cdot d\vec{s}=\iint (\nabla\times\vec{B})\cdot d\vec{A}.
  • Pela lei integral de Ampère isso é igual a \mu_{0}\iint \vec{J}\cdot d\vec{A}, onde \vec{J} é a densidade de corrente superficial volumétrica (isto é, a corrente por unidade de área). Portanto, como isso vale para qualquer superfície:
\iint (\nabla\times\vec{B})\cdot d\vec{A}=\mu_{0}\iint \vec{J}\cdot d\vec{A}\quad\Rightarrow\quad \nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\vec{J}.
  • Esta é a forma diferencial da lei de Ampère (sem correntes de deslocamento). Em linguagem simples: o rotacional de \vec{B} num ponto é proporcional à densidade de corrente naquele ponto.

Passo 9

Dicas práticas para a prova (motivação e truques):
  • Sempre desenhe a amperiana e marque o sentido de integração com uma seta. Depois desenhe o polegar da mão direita para saber quais correntes são positivas.
  • Identifique rapidamente a simetria (circular, cilíndrica, translacional). Se \vec{B} for constante ao longo da amperiana ou proporcional a uma função simples, a integral fica fácil.
  • Conte apenas as correntes que atravessam a superfície cujo bordo é a amperiana — se um fio passa por fora da curva, ele não contribui.
  • Se a questão tiver correntes distribuídas (densidade de corrente), transforme em integral de superfície de \vec{J} para obter i_{\text{env}}=\iint \vec{J}\cdot d\vec{A}.

Resposta

\oint \vec{B}\cdot d\vec{s}=\mu_{0}\,i_{\text{env}}

Exercícios relacionados