Para um campo magnético uniforme e independente do tempo, B(r, t)=B0 , verifique que é possível a escolha de um potencial vetorial magnético da forma A=alpha r times B0 e determine o valor da constante alpha.
(2,5)

Passo 1

O enunciado dá um campo magnético uniforme e estacionário
B(r,t)=B0
e pede um potencial vetorial da forma
A=alpha,rtimesB0
de modo que nablatimesA=B0.

Passo 2

Para calcular nablatimes(rtimesB0) usamos a identidade vetorial
nabla times (u times v) = u,(nablacdotv) - v,(nablacdotu) + (vcdotnabla),u - (ucdotnabla),v
Aqui tomamos u=r e v=B0 constante, de modo que
nablacdotr=3, nablacdotB0=0,
(B0cdotnabla),r=B0 e (rcdotnabla),B0=0.

Passo 3

Substituindo na identidade,
nabla times (r times B0) = r,(0) - B0,(3) + B0 - 0 = -2,B0

Passo 4

Como A=alpha,(rtimesB0), segue
nablatimesA = alpha,nablatimes(rtimesB0) = alpha,(-2,B0) = -2alpha,B0
Para ter nablatimesA=B0 precisamos de
-2alpha,B0=B0 Longrightarrow -2alpha=1 Longrightarrow alpha=-tfrac12

Resposta

alpha=-tfrac12.

Exercícios relacionados