Um campo magnético variável induz um campo elétrico \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} em um condutor. Se \mathbf{A}=\left(t x \hat{\mathbf{a}} \mathbf{x}+t^{2} y \hat{\mathbf{a}} \mathbf{y}\right) \mathrm{Wb} / \mathrm{m}, derive \mathbf{E} em ( 1,1,0 ) e verifique a divergência.

Passo 1

O enunciado nos dá o potencial vetor
\mathbf{A}(x,y,z,t)=t\,x\,\hat{\mathbf{a}}_x \;+\;t^2\,y\,\hat{\mathbf{a}}_y
e afirma que o campo elétrico induzido num condutor é
\mathbf{E} \;=\;-\,\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}.
O objetivo é: (i) calcular \mathbf{E} e depois avaliar em (x,y,z)=(1,1,0); (ii) verificar a divergência \nabla\cdot\mathbf{E}.

Passo 2

Vamos usar a definição
\mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}
e derivar componente a componente. Como
\mathbf{A}=A_x\,\hat{\mathbf{a}}_x + A_y\,\hat{\mathbf{a}}_y + A_z\,\hat{\mathbf{a}}_z
com
A_x = t\,x,\quad A_y = t^2\,y,\quad A_z=0,
temos:

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais em relação a t:
\frac{\partial A_x}{\partial t} = x, \qquad \frac{\partial A_y}{\partial t} = 2\,t\,y, \qquad \frac{\partial A_z}{\partial t} = 0.
Logo, as componentes de \mathbf{E} são
E_x = -\,x, \quad E_y = -\,2\,t\,y, \quad E_z = 0.

Passo 4

Para avaliar \mathbf{E} no ponto (1,1,0), basta substituir x=1, y=1, z=0:
\mathbf{E}(1,1,0,t) = -\,1\,\hat{\mathbf{a}}_x \;-\;2\,t\cdot1\,\hat{\mathbf{a}}_y = -\,\hat{\mathbf{a}}_x \;-\;2\,t\,\hat{\mathbf{a}}_y.

Passo 5

Agora verificamos a divergência
\nabla\cdot\mathbf{E} =\frac{\partial E_x}{\partial x} +\frac{\partial E_y}{\partial y} +\frac{\partial E_z}{\partial z}.
Como E_x=-x e E_y=-2ty, temos
\frac{\partial E_x}{\partial x} = -1, \qquad \frac{\partial E_y}{\partial y} = -2\,t, \qquad \frac{\partial E_z}{\partial z} = 0.
Portanto
\nabla\cdot\mathbf{E} = -1 \;-\;2\,t.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}(1,1,0,t) = -\,\hat{\mathbf{a}}_x \;-\;2\,t\,\hat{\mathbf{a}}_y,
\displaystyle \nabla\cdot\mathbf{E} = -\,\bigl(1+2\,t\bigr).

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