Uma carga puntiforme Q=15 \mu \mathrm{C} em ( 0,0,1 ) interage com um dielétrico não homogêneo onde \epsilon_{r}=1+0.1 z. Determine o potencial escalar e o campo vetorial em ( 0,0,2 ) usando integrais triplas.

Passo 1

O enunciado fornece uma carga pontual Q=15\,\mu\mathrm{C} localizada em (0,0,1) inserida num meio dielétrico não homogêneo cuja permissividade relativa é
\epsilon_{r}(z)=1+0.1\,z.
Pede‐se o potencial escalar \varphi e o campo elétrico \mathbf{E} no ponto P=(0,0,2). O conteúdo é eletrostática em meio com \epsilon variável e vamos usar a fórmula integral da teoria de dielétricos não homogêneos.

Passo 2

Em geral, em um meio com permissividade \epsilon(\mathbf{r}')=\epsilon_0\,\epsilon_r(\mathbf{r}'), o potencial escalar num ponto \mathbf{r} é dado por
\varphi(\mathbf{r}) =\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \iiint_{V} \frac{\rho(\mathbf{r}')}{\epsilon_r(\mathbf{r}')\,|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \,dV'.
Aqui \rho(\mathbf{r}') é a densidade de carga livre e o fator 1/\epsilon_r aparece dentro da integral devido à variação espacial da permissividade.

Passo 3

Para uma carga pontual Q em \mathbf{r}_0=(0,0,1) temos
\rho(\mathbf{r}')=Q\,\delta(x')\,\delta(y')\,\delta(z'-1).
Substituindo em \varphi(\mathbf{r}) e avaliando a integral tripla com as deltas, obtemos
\varphi(\mathbf{r}) =\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\, \epsilon_r(z_0)\,|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|},
onde z_0=1 é a cota da carga.

Passo 4

Agora avaliamos em P=(0,0,2). A distância até \mathbf{r}_0 é
|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0| =| (0,0,2)-(0,0,1)|=1
e
\epsilon_r(z_0)=\epsilon_r(1)=1+0.1\cdot1=1.1.
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\varphi(0,0,2) =\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\,(1.1)\,(1)} =\frac{15\times10^{-6}}{4\pi\,(8.854\times10^{-12})\,(1.1)} \approx1.23\times10^{5}\,\mathrm{V}.

Passo 5

O campo elétrico é \mathbf{E}=-\nabla\varphi. Como o potencial de uma carga pontual depende apenas de \mathbf{r}-\mathbf{r}_0, podemos usar a expressão vetorial conhecida em meio com fator \epsilon_r(z_0):
\mathbf{E}(\mathbf{r}) =\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\,\epsilon_r(z_0)\,|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|^3} \bigl(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\bigr).
Em P=(0,0,2) isso dá
\mathbf{r}-\mathbf{r}_0=(0,0,1),\quad|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|=1,
portanto
\mathbf{E}(0,0,2) =\frac{Q}{4\pi\epsilon_0\,(1.1)\,(1)^3}(0,0,1) \approx\bigl(0,0,1.23\times10^{5}\bigr)\,\mathrm{V/m}.

Resposta

\displaystyle \varphi(0,0,2)\approx1.23\times10^{5}\,\mathrm{V},
\quad
\displaystyle \mathbf{E}(0,0,2)\approx(0,0,1.23\times10^{5})\,\mathrm{V/m}.

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