Uma carga puntiforme
em (
) interage com um dielétrico não homogêneo onde
. Determine o potencial escalar e o campo vetorial em (
) usando integrais triplas.
Passo 1
O enunciado fornece uma carga pontual
localizada em
inserida num meio dielétrico não homogêneo cuja permissividade relativa é
Pede‐se o potencial escalar
e o campo elétrico
no ponto
. O conteúdo é eletrostática em meio com
variável e vamos usar a fórmula integral da teoria de dielétricos não homogêneos.
Passo 2
Em geral, em um meio com permissividade
, o potencial escalar num ponto
é dado por
Aqui
é a densidade de carga livre e o fator
aparece dentro da integral devido à variação espacial da permissividade.
Passo 3
Para uma carga pontual
em
temos
Substituindo em
e avaliando a integral tripla com as deltas, obtemos
onde
é a cota da carga.
Passo 4
Agora avaliamos em
. A distância até
é
e
Logo
Passo 5
O campo elétrico é
. Como o potencial de uma carga pontual depende apenas de
, podemos usar a expressão vetorial conhecida em meio com fator
:
Em
isso dá
portanto
Resposta
\quad