Um escoamento completamente desenvolvido de água no interior de um tubo pode ser descrito pela seguinte equação:
Quantas dimensões possui este escoamento?
Passo 1
O enunciado nos dá o campo de velocidades
com
A pergunta é: “Quantas dimensões possui este escoamento?”
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A velocidade aponta na direção
(apenas componente axial não nula). - O módulo da velocidade
depende da coordenada radial . - Não há informação de dependência da direção axial nem da azimutal (isto é, o perfil é independente da coordenada axial e é axisimétrico).
Passo 2
Antes de responder, vale esclarecer o que pode significar “quantas dimensões possui este escoamento”, porque a expressão é ambígua. Existem duas interpretações comuns:
- “Dimensão” como o número de componentes de velocidade não nulos (ou seja, quantas direções diferentes têm velocidade diferente de zero).
- “Dimensão” como o número de variáveis espaciais independentes das quais a velocidade depende (ou seja, em quantas direções o campo varia).
Vou tratar as duas interpretações e depois indicar qual é a resposta mais usada em provas e textos.
Passo 3
Interpretação 1 — número de componentes de velocidade não nulos.
O campo dado é
O campo dado é
ou seja, a componente nas direções
e
é nula. Portanto só existe uma componente de velocidade não nula (a componente axial). Por esta interpretação o escoamento é unidirecional, isto é, de “uma dimensão” em termos de componentes de velocidade.
Explicação didática: quando numa prova se pede se um escoamento é unidimensional, geralmente verifica-se se a velocidade tem apenas uma componente. Exemplos rápidos:
-
é um escoamento unidimensional (1D) porque só há . -
é bidimensional (2D) porque há duas componentes possivelmente não nulas.
Passo 4
Interpretação 2 — número de variáveis espaciais independentes da velocidade.
Aqui observamos que depende de
apenas:
Aqui observamos que
A coordenada
é o raio na seção transversal (em coordenadas cilíndricas,
se o eixo do tubo for o
). Isso significa:
- Não há variação ao longo do eixo (fully developed):
. - Não há variação azimutal (axisimetria):
. - A velocidade varia apenas com o escalar
, isto é, com a distância radial ao eixo.
Portanto, em termos do número de variáveis espaciais independentes das quais
depende, temos apenas uma variável independente (
). Em muitos contextos isso também é chamado de variação unidimensional (a variação existe só numa direção radial efetiva).
Passo 5
Interpretação prática para provas e respostas curtas: normalmente, quando se pergunta “quantas dimensões possui este escoamento?” esperam como resposta que o escoamento é unidirecional / unidimensional, porque só há uma componente de velocidade não nula (apenas a componente axial). Pode-se complementar dizendo que o perfil é axisimétrico e que a velocidade varia apenas com a distância radial
, ou seja, está embutido num espaço tridimensional mas o campo é unidirecional e depende de uma única variável radial.
Resposta
Uma dimensão (escoamento unidirecional/unidimensional; velocidade só na direção axial, com perfil axisimétrico
).