Um escoamento completamente desenvolvido de água no interior de um tubo pode ser descrito pela seguinte equação:
\overrightarrow{\mathrm{V}}=\mathrm{u} \hat{\mathrm{i}} \text {, onde } \mathrm{u}=\mathrm{U}_{\max }\left[1-\left(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}\right)^{2}\right]
Quantas dimensões possui este escoamento?

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de velocidades
\overrightarrow{\mathrm{V}}=\mathrm{u}\,\hat{\mathrm{i}}
com
\mathrm{u}=\mathrm{U}_{\max}\left[1-\left(\frac{\mathrm{r}}{\mathrm{R}}\right)^{2}\right].
A pergunta é: “Quantas dimensões possui este escoamento?”
Informações relevantes fornecidas:
  • A velocidade aponta na direção \hat{\mathrm{i}} (apenas componente axial não nula).
  • O módulo da velocidade \mathrm{u} depende da coordenada radial \mathrm{r}.
  • Não há informação de dependência da direção axial nem da azimutal (isto é, o perfil é independente da coordenada axial e é axisimétrico).

Passo 2

Antes de responder, vale esclarecer o que pode significar “quantas dimensões possui este escoamento”, porque a expressão é ambígua. Existem duas interpretações comuns:
  1. “Dimensão” como o número de componentes de velocidade não nulos (ou seja, quantas direções diferentes têm velocidade diferente de zero).
  2. “Dimensão” como o número de variáveis espaciais independentes das quais a velocidade depende (ou seja, em quantas direções o campo varia).
Vou tratar as duas interpretações e depois indicar qual é a resposta mais usada em provas e textos.

Passo 3

Interpretação 1 — número de componentes de velocidade não nulos.
O campo dado é
\overrightarrow{\mathrm{V}}=\mathrm{u}\,\hat{\mathrm{i}},
ou seja, a componente nas direções \hat{\jmath} e \hat{k} é nula. Portanto só existe uma componente de velocidade não nula (a componente axial). Por esta interpretação o escoamento é unidirecional, isto é, de “uma dimensão” em termos de componentes de velocidade.
Explicação didática: quando numa prova se pede se um escoamento é unidimensional, geralmente verifica-se se a velocidade tem apenas uma componente. Exemplos rápidos:
  • \overrightarrow{V} = V_x(x)\,\hat{\imath} é um escoamento unidimensional (1D) porque só há V_x.
  • \overrightarrow{V} = V_x(x,y)\,\hat{\imath}+V_y(x,y)\,\hat{\jmath} é bidimensional (2D) porque há duas componentes possivelmente não nulas.

Passo 4

Interpretação 2 — número de variáveis espaciais independentes da velocidade.
Aqui observamos que \mathrm{u} depende de \mathrm{r} apenas:
\mathrm{u}=\mathrm{u}(\mathrm{r}).
A coordenada \mathrm{r} é o raio na seção transversal (em coordenadas cilíndricas, \mathrm{r}=\sqrt{y^{2}+z^{2}} se o eixo do tubo for o x). Isso significa:
  • Não há variação ao longo do eixo (fully developed): \partial/\partial x=0.
  • Não há variação azimutal (axisimetria): \partial/\partial\theta=0.
  • A velocidade varia apenas com o escalar \mathrm{r}, isto é, com a distância radial ao eixo.
Portanto, em termos do número de variáveis espaciais independentes das quais \mathrm{u} depende, temos apenas uma variável independente ( \mathrm{r}). Em muitos contextos isso também é chamado de variação unidimensional (a variação existe só numa direção radial efetiva).

Passo 5

Interpretação prática para provas e respostas curtas: normalmente, quando se pergunta “quantas dimensões possui este escoamento?” esperam como resposta que o escoamento é unidirecional / unidimensional, porque só há uma componente de velocidade não nula (apenas a componente axial). Pode-se complementar dizendo que o perfil é axisimétrico e que a velocidade varia apenas com a distância radial \mathrm{r}, ou seja, está embutido num espaço tridimensional mas o campo é unidirecional e depende de uma única variável radial.

Resposta

Uma dimensão (escoamento unidirecional/unidimensional; velocidade só na direção axial, com perfil axisimétrico \mathrm{u}(\mathrm{r})).

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