O campo de massas específicas de um escoamento é descrito por:
\rho=680-2 \frac{x}{y}+0,8 \frac{z}{x}-6 \cdot e^{-0,1 \cdot t}
Calcule a massa específica do elemento fluido localizado no ponto \mathrm{P}=(1,2,1) para os instantes de tempo:
\mathrm{t}=10 minutos

Passo 1

O enunciado nos dá o campo de massas específicas
\rho = 680 - 2\frac{x}{y} + 0,8\frac{z}{x} - 6\cdot e^{-0,1\cdot t}
e pede a massa específica do elemento fluido localizado no ponto \mathrm{P}=(1,2,1) para o instante \mathrm{t}=10 minutos.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As coordenadas do ponto são x=1, y=2, z=1.
  • O tempo é t=10 (minutos).
  • A expressão de \rho envolve uma função exponencial e^{-0,1\cdot t}, que será avaliada em t=10.

Passo 2

Estratégia de cálculo (curta e direta): substituir x=1, y=2, z=1 e t=10 diretamente na fórmula e então simplificar os termos. Vou fazer a substituição termo a termo para ficar bem didático.

Passo 3

Substituindo os valores na expressão:
\rho(1,2,1,10)=680 - 2\cdot\frac{1}{2} + 0,8\cdot\frac{1}{1} - 6\cdot e^{-0,1\cdot 10}.
Agora simplifico os fatores óbvios:
-2\cdot\frac{1}{2} = -1, \qquad 0,8\cdot\frac{1}{1} = 0,8, \qquad -0,1\cdot 10 = -1.
Logo a expressão fica
\rho(1,2,1,10)=680 - 1 + 0,8 - 6\cdot e^{-1}.

Passo 4

Explicando o termo exponencial e como aproximá‑lo: e^{-1}=\dfrac{1}{e}. Uma constante bem conhecida é e\approx 2,718281828. Assim
e^{-1}\approx 0,3678794412,
e portanto
6\cdot e^{-1}\approx 6\cdot 0,3678794412 \approx 2,207276647.
(Se na prova não for possível usar calculadora, pode deixar a resposta em forma exata 679,8-6e^{-1}; aqui estou dando a aproximação numérica.)

Passo 5

Agora somo/subtraio os termos já obtidos:
680 - 1 + 0,8 = 679,8.
Subtraindo o termo exponencial aproximado:
\rho(1,2,1,10) \approx 679,8 - 2,207276647 \approx 677,592723353.
Arredondando de forma razoável (por exemplo, três casas decimais):
\rho(1,2,1,10) \approx 677,593.

Resposta

\rho(1,2,1,10)\approx 677,593

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