Um tanque cilíndrico de 6 m de diâmetro, está aberto pela parte superior e contém benzeno \left(\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{6}\right) a uma temperatura de 25^{\circ} \mathrm{C}. As condições ambientais são tais que se pode supor ocorrência de difusão através de uma película estagnada de ar (B) de 5 mm de espessura. Calcule a taxa de evaporação do benzeno em kg/h.
Dados: Pressão de vapor do benzeno: 100 mmHg ; \mathrm{D}_{\mathrm{AB}}=9,62 \times 10^{-2} \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular a taxa de evaporação do benzeno em massa, em \mathrm{kg/h}, de um tanque cilíndrico aberto.
Informações fornecidas (peguei os números do enunciado):
  • Diâmetro do tanque: D=6\\ \mathrm{m}.
  • Temperatura: 25^\circ\mathrm{C}.
  • Espessura da película estagnada de ar: \delta=5\\ \mathrm{mm}.
  • Pressão de vapor do benzeno: p_A=100\\ \mathrm{mmHg}.
  • Coeficiente de difusão do benzeno no ar: D_{AB}=9,62\times10^{-2}\\ \mathrm{cm^2/s}.
O enunciado não informou explicitamente a pressão total do ar, então adoto a hipótese padrão de pressão atmosférica:
  • Pressão total: P=760\\ \mathrm{mmHg} (ou 1\\ \mathrm{atm}).
O que vamos calcular passo a passo:
  • Converter unidades necessárias;
  • Estimar o fluxo molar por difusão através da película estagnada;
  • Converter para fluxo de massa e para \mathrm{kg/h}.

Passo 2

Modelo físico e fórmula de base (explicação didática):
  • Em presença de uma película estagnada de espessura \delta, a transferência de massa do líquido para o ar pode ser aproximada por difusão molecular em regime estacionário com perfil de concentração linear na película.
  • A lei de Fick (forma simplificada para filme plano) fornece o fluxo molar por área:
N_A = \frac{D_{AB}}{\delta}\,\bigl(C_{A,s}-C_{A,\infty}\bigr),
onde:
  • N_A é o fluxo molar de A (benzeno) em \mathrm{mol/(m^2\cdot s)};
  • D_{AB} é o coeficiente de difusão em \mathrm{m^2/s};
  • \delta é a espessura da película em \mathrm{m};
  • C_{A,s} é a concentração molar de A na interface líquido-ar (mol/m^3);
  • C_{A,\infty} é a concentração molar de A no ar distante (bulk), que assumimos \approx 0 (ar praticamente limpo de benzeno).
Comentário prático: a razão para assumir C_{A,\infty}\approx0 é que a atmosfera em torno do tanque normalmente contém uma fração muito pequena de vapor de benzeno comparada à pressão de vapor do líquido; portanto a diferença de concentração é bem aproximada por C_{A,s}.

Passo 3

Converter C_{A,s} a partir da pressão de vapor usando a lei dos gases ideais (aula rápida):
  • Para um gás ideal:
C_A=\frac{p_A}{R\,T},
onde:
  • p_A é a pressão parcial do vapor de benzeno na superfície (Pa),
  • R é a constante universal dos gases R=8,314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
Dados numéricos e conversões:
  • Temperatura: T=25^\circ\mathrm{C}=25+273=298\\ \mathrm{K}.
  • Conversão de pressão: 1\\ \mathrm{mmHg}=133,322\\ \mathrm{Pa}. Assim
p_A = 100\\ \mathrm{mmHg} = 100\times133,322\\ \mathrm{Pa} = 13332,2\\ \mathrm{Pa}.
  • Calculando C_{A,s}:
C_{A,s}=\frac{13332,2}{8,314\times298}=\frac{13332,2}{2477,572}\approx 5,379\\ \mathrm{mol/m^3}.

Passo 4

Converter D_{AB} e \delta para unidades SI e calcular o fluxo molar por área:
  • D_{AB} dado em \mathrm{cm^2/s}. Converter: 1\\ \mathrm{cm^2}=10^{-4}\\ \mathrm{m^2}. Então
D_{AB}=9,62\times10^{-2}\\ \mathrm{cm^2/s}=9,62\times10^{-2}\times10^{-4}\\ \mathrm{m^2/s}=9,62\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
  • Espessura da película: \delta=5\\ \mathrm{mm}=0,005\\ \mathrm{m}.
  • Como C_{A,\infty}\approx0, da fórmula do filme:
N_A=\frac{D_{AB}}{\delta}\,C_{A,s}.
  • Calcule a razão D_{AB}/\delta:
\frac{D_{AB}}{\delta}=\frac{9,62\times10^{-6}}{0,005}=1,924\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.
  • Agora o fluxo molar por área:
N_A=(1,924\times10^{-3})\times 5,379 \approx 0,01035\\ \mathrm{mol/(m^2\cdot s)}.
Breve interpretação: esse número significa que, em cada metro quadrado da superfície do tanque, saem cerca de 0,01035 mol de benzeno por segundo por difusão através da película.

Passo 5

Calcular a área da superfície livre do cilindro e a vazão molar total:
  • Área livre (tampa aberta circular) do tanque:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi\times 6^2}{4}=\pi\times 9 \approx 28,274\\ \mathrm{m^2}.
  • Vazão molar total de evaporação:
\dot{n}_A = N_A \, A = 0,01035\times 28,274 \approx 0,2926\\ \mathrm{mol/s}.

Passo 6

Converter vazão molar para vazão de massa e para \mathrm{kg/h}:
  • Massa molar do benzeno: M_A \approx 78,11\\ \mathrm{g/mol}=0,07811\\ \mathrm{kg/mol}.
  • Vazão de massa em \mathrm{kg/s}:
\dot{m} = \dot{n}_A \, M_A = 0,2926\times 0,07811 \approx 0,02284\\ \mathrm{kg/s}.
  • Converter para \mathrm{kg/h} multiplicando por 3600:
\dot{m}_{\mathrm{h}} = 0,02284\times 3600 \approx 82,2\\ \mathrm{kg/h}.

Passo 7

Comentários finais e sobre as hipóteses (importante para a prova):
  • Método escolhido: modelo de película estagnada + difusão molecular (Fick) é apropriado porque o enunciado dá explicitamente a espessura da película \delta e o coeficiente de difusão, indicando tratar-se de transporte por difusão através de uma camada estacionária.
  • Hipóteses feitas: ar distante sem benzeno ( C_{A,\infty}\approx0); pressão total 1\\ \mathrm{atm}; comportamento ideal do vapor. Se o ar ambiente já contivesse vapor significativo de benzeno, ou existisse convecção forçada, a taxa seria diferente (menor ou maior conforme o caso).
  • Sensibilidade: a taxa é inversamente proporcional a \delta; se a película fosse mais fina (mais mistura), a evaporação aumentaria.

Resposta

82,2\\ \mathrm{kg/h}

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