Exemplo 2.1

Calcule o fluxo do campo \mathrm{F}=(2 \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}) através do quadrado 0 \leq \mathrm{x}, \mathrm{y} \leq 2 situado no plano \mathrm{z}= 3.

Passo 1

O enunciado pede: calcular o fluxo do campo \mathbf{F}=(2x,y,z) através do quadrado definido por 0\le x\le 2 e 0\le y\le 2 situado no plano z=3. Informações dadas:
  • O campo vetorial é \mathbf{F}(x,y,z) = (2x,y,z).
  • A superfície é o quadrado no plano z=3 com domínio no plano xy dado por D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 2,\;0\le y\le 2\}.
  • O enunciado não especifica a orientação da superfície; vou assumir, por convenção, a normal apontando no sentido positivo de z (ou seja, para cima). Se fosse pedida a orientação oposta, o resultado teria sinal trocado.

Passo 2

O que é fluxo e a fórmula que vamos usar. Fluxo de um campo vetorial através de uma superfície S orientada é a integral de superfície
\iint_{S} \mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,dS,
onde \mathbf{n} é o vetor normal unitário da superfície (orientação escolhida) e dS é o elemento de área sobre S.
Método prático para uma superfície plana dada por z= constante: parametrizamos a superfície usando as próprias coordenadas x e y. Para o nosso caso, uma parametrização natural é
\mathbf{r}(x,y)=(x,y,3),
com (x,y) variando em D=\{0\le x\le2,\;0\le y\le2\}. Aqui \mathbf{r}_x e \mathbf{r}_y são as derivadas parciais da parametrização; o produto vetorial \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y fornece um vetor normal (não necessariamente unitário). A fórmula prática para o fluxo usando parametrização é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot \mathbf{n}\,dS =\iint_{D}\mathbf{F}(\mathbf{r}(x,y))\cdot\big(\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\big)\,dA,
onde dA é o elemento de área no domínio do parâmetro (aqui dA=dx\,dy). Explico cada termo:
  • \mathbf{r}(x,y) dá as coordenadas de um ponto da superfície em função de x,y.
  • \mathbf{r}_x=\dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial x} e \mathbf{r}_y=\dfrac{\partial\mathbf{r}}{\partial y} são vetores tangentes à superfície.
  • \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y é um vetor normal orientado conforme a parametrização; seu comprimento |\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y| dá o fator de escala entre dS e dA.

Passo 3

Calculemos \mathbf{r}_x e \mathbf{r}_y para a parametrização escolhida:
\mathbf{r}(x,y)=(x,y,3),
\mathbf{r}_x=(1,0,0),\qquad \mathbf{r}_y=(0,1,0).
O produto vetorial é
\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0,0,1).
Portanto \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y já é o vetor normal com orientação para cima (positivo em z), e seu módulo é |\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y|=1. Isso significa que dS=dA neste caso porque a superfície é plana e paralela ao plano xy.

Passo 4

Agora avaliamos o campo sobre a parametrização:
\mathbf{F}(\mathbf{r}(x,y)) = \big(2x,\;y,\;3\big),
pois em pontos do quadrado temos z=3. O integrando da integral de fluxo é o produto escalar
\mathbf{F}(\mathbf{r}(x,y))\cdot\big(\mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y\big) = (2x,y,3)\cdot(0,0,1) = 3.
Ou seja, o integrando é constante igual a 3 em todo o quadrado.

Passo 5

Agora calculamos a integral dupla sobre o domínio D:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS = \iint_{D} 3\,dA = \int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{2} 3\,dy\,dx.
Executando a integração (mostrando passo a passo):
primeiro a integral interna em y:
\int_{y=0}^{2} 3\,dy = 3\cdot(2-0)=6.
Agora a integral externa em x:
\int_{x=0}^{2} 6\,dx = 6\cdot(2-0)=12.
Também podemos ver rapidamente que a área do quadrado é 4 (pois 2\times 2) e 3 vezes a área dá 3\cdot 4=12.

Passo 6

Observação final e interpretação: com a escolha de orientação para cima (normal (0,0,1)), o fluxo vale \,12. Se a orientação fosse a oposta (normal para baixo), o fluxo seria -12. Bom trabalho — você viu todo o processo: parametrização, cálculo de \mathbf{r}_x\times\mathbf{r}_y, avaliar \mathbf{F} na parametrização, fazer o produto escalar e integrar.

Resposta

12

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