Um campo de potencial no espaço livre é expresso como
.
(a) Calcule a energia total armazenada dentro do cubo
.
(b) Qual valor seria obtido caso fosse assumida uma densidade uniforme de energia igual ao valor no centro do cubo?
(a) Calcule a energia total armazenada dentro do cubo
(b) Qual valor seria obtido caso fosse assumida uma densidade uniforme de energia igual ao valor no centro do cubo?
Passo 1
Beleza! A gente tem um campo de potencial no espaço livre
O enunciado pede:
(a) calcular a energia total armazenada dentro do cubo ;
(b) repetir o cálculo supondo que a densidade de energia seja uniforme e igual ao valor no ponto central do cubo.
Matéria relacionada: eletrostática, cálculo do campo elétrico a partir do potencial ( ), densidade de energia elétrica (
) e integração tripla.
(a) calcular a energia total armazenada dentro do cubo
(b) repetir o cálculo supondo que a densidade de energia seja uniforme e igual ao valor no ponto central do cubo.
Matéria relacionada: eletrostática, cálculo do campo elétrico a partir do potencial (
Passo 2
Primeiro passo da resolução de fato: achar
.
Como , a gente faz as derivadas parciais:
Como
Passo 3
Agora a densidade de energia elétrica é
e
Passo 4
Energia total dentro do cubo:
Cada termo separa em produto de integrais. Por exemplo,
Então cada uma das três parcelas dá
, e somando dá
.
Passo 5
Substituindo:
Usando
,
Passo 6
Para o caso (b), a gente pega a densidade de energia no centro
.
Lá,
Lá,
Como o cubo tem volume
, a energia total aproximada é
Resposta
(a)
(b)
(b)