Um campo de potencial no espaço livre é expresso como V=20x y z(V).
(a) Calcule a energia total armazenada dentro do cubo 1< x, y, z<2.
(b) Qual valor seria obtido caso fosse assumida uma densidade uniforme de energia igual ao valor no centro do cubo?

Passo 1

Beleza! A gente tem um campo de potencial no espaço livre
V(x,y,z) = 20x,y,z;(V)
O enunciado pede:
(a) calcular a energia total armazenada dentro do cubo ;
(b) repetir o cálculo supondo que a densidade de energia seja uniforme e igual ao valor no ponto central do cubo.
Matéria relacionada: eletrostática, cálculo do campo elétrico a partir do potencial ( ), densidade de energia elétrica ( ) e integração tripla.

Passo 2

Primeiro passo da resolução de fato: achar Ex = -partial Vpartial x = -(-20x^2 y z) = 20x^2 y z, .
Como Ey = 20x,y^2 z, Ez = 20x,y,z^2 , a gente faz as derivadas parciais:

Passo 3

Agora a densidade de energia elétrica é
u = varepsilon02,E^2,
e
E^2 = Ex^2 + Ey^2 + Ez^2 = 400l(tfrac1x^4y^2z^2 + tfrac1x^2y^4z^2 + tfrac1x^2y^2z^4r)

Passo 4

Energia total dentro do cubo:
U = integral triplacubo u,dV = varepsilon02,400 integral1^2!!integral1^2!!integral1^2 l(tfrac1x^4y^2z^2 + tfrac1x^2y^4z^2 + tfrac1x^2y^2z^4r),dx,dy,dz
Cada termo separa em produto de integrais. Por exemplo,
integral1^2 x^-4dx = l[-tfrac13 x^-3r]1^2 = 724, integral1^2 y^-2dy = 12, integral1^2 z^-2dz = 12
Então cada uma das três parcelas dá , e somando dá .

Passo 5

Substituindo:
U = varepsilon02,400cdot732 = 200,732,varepsilon0 = 140032,varepsilon0 approx 43,75,varepsilon0
Usando U approx 43,75times8,85times10^-12approx3,87times10^-10,J ,

Passo 6

Para o caso (b), a gente pega a densidade de energia no centro Ex=Ey=Ez=20(1,5)^3approx5,926;V/m, .
Lá,
E^2 = 3,(5,926)^2approx105,33;(V/m)^2, ucentro = varepsilon02,E^2approx4,66times10^-10,J/m^3
Uuniforme = ucentrotimes1 approx4,66times10^-10,J
Como o cubo tem volume , a energia total aproximada é

Resposta

(a)
(b)

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