Se V=rho^2 sin phi, calcule a energia dentro da região definida por
1

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos em coordenadas esféricas o “volume‐elemento”
dV = rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
e pede para calcular o “volume” (ou “energia”, que aqui é só a integral desse 1) na região
sabendo que .
Conteúdo principal: integração tripla em esféricas, uso do jacobiano e aplicação da condição em .

Passo 2

Precisamos achar os limites direitinho:
rho<2cosphi vai de a (dado).
não foi limitado, então é “rodar 360°”: .
– A restrição em é . Como e nesse intervalo, a parte “ ” é sempre satisfeita, e a “ ” vira
Então, mesmo tendo , quem manda é , porque para temos . E o mínimo continua 1.

Passo 3

O integral do volume vira
integraltheta=0^2pi!integralphi=0^pi/3!integralrho=1^2/cosphi rho^2sinphi;drho,dphi,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em integral1^2/cosphirho^2,drho =l[tfracrho^33r]1^2/cosphi =13l[l(tfrac2cosphir)^3-1r] =13l(8cos^3phi-1r) :
integral0^2pidtheta;integral0^pi/3sinphi;13l(8cos^3phi-1r)dphi
Logo o integral fica

Passo 5

Agora o de :
Separemos em duas integrais:

  1. Com , , dá
Somando:
Falta o :

Resposta

Multiplicando tudo, o volume final é
2pi;times;236 =23pi3

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