Se
, calcule a energia dentro da região definida por
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos em coordenadas esféricas o “volume‐elemento”
e pede para calcular o “volume” (ou “energia”, que aqui é só a integral desse
) na região
sabendo que
.
Conteúdo principal: integração tripla em esféricas, uso do jacobiano e aplicação da condição em
.
Conteúdo principal: integração tripla em esféricas, uso do jacobiano
Passo 2
Precisamos achar os limites direitinho:
– vai de
a
(dado).
– não foi limitado, então é “rodar 360°”:
.
– A restrição em é
. Como
e
nesse intervalo, a parte “
” é sempre satisfeita, e a “
” vira
–
–
– A restrição em
Então, mesmo tendo
, quem manda é
, porque para
temos
. E o mínimo
continua 1.
Passo 3
O integral do volume vira
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Logo o integral fica
Passo 5
Agora o de
:
Separemos em duas integrais:
Separemos em duas integrais:
-
Com, , dá
-
Somando:
Falta o :
Falta o
Resposta
Multiplicando tudo, o volume final é