O estado inicial de uma partícula é dado por
onde
.
(a) Determine a constante de normalização
;
(b) Represente graficamente a densidade de probabilidade de presença da partícula;
© Determine o valor médio e a incerteza da posição.
(a) Determine a constante de normalização
(b) Represente graficamente a densidade de probabilidade de presença da partícula;
© Determine o valor médio e a incerteza da posição.
Passo 1
Beleza, vamos estudar a função de onda que uma partícula tem no instante
:
Isso é matéria de Mecânica Quântica básica: normalização de uma função de onda, densidade de probabilidade, valor médio e incerteza de posição. Para resolver isso, vamos usar:
- A condição de normalização
. - Definição de densidade:
. - Valor médio:
. - Incerteza:
.
Passo 2
(a) Normalização da função de onda
- Primeiro lembramos que
. - Dentro do intervalo
, . O módulo desse número complexo é , porque . Então
- Fora desse intervalo,
. - Impomos
. Isso vira
- Logo
, podemos escolher real e positivo:
Passo 3
(b) Gráfico da densidade de probabilidade
A densidade é
A densidade é
Ou seja, é um retângulo de altura
entre
e
, zero fora. É gráfico fácil: uma “caixinha” reta entre esses pontos.
Passo 4
© Valor médio
e incerteza
- Valor médio
Essa integral é
- Cálculo de
Expandindo
, dá
- Incerteza
Como
, então
Logo
Resposta
(a)
.
(b) é retângulo de altura
entre
e
, zero fora.
©
(b)
©