O estado inicial de uma partícula é dado por
Psi(x, 0)= A exp [i k0(x-x0)] & (x0x0+a),
onde k0=2 pi / lambda0.
(a) Determine a constante de normalização A;
(b) Represente graficamente a densidade de probabilidade de presença da partícula;
© Determine o valor médio e a incerteza da posição.

Passo 1

Beleza, vamos estudar a função de onda que uma partícula tem no instante Psi(x,0)= A,e^i k0(x - x0) & se x0 < x < x0 + a, 0 & fora desse intervalo :
Isso é matéria de Mecânica Quântica básica: normalização de uma função de onda, densidade de probabilidade, valor médio e incerteza de posição. Para resolver isso, vamos usar:
  1. A condição de normalização .
  2. Definição de densidade: .
  3. Valor médio: .
  4. Incerteza: .

Passo 2

(a) Normalização da função de onda
  1. Primeiro lembramos que |Psi(x,0)|^2 = |A|^2, x0.
  2. Dentro do intervalo integralx0^x0+a |A|^2,dx = |A|^2 , a = 1 , A = 1raiza . O módulo desse número complexo é , porque . Então
  1. Fora desse intervalo, .
  2. Impomos . Isso vira
  1. Logo , podemos escolher real e positivo:

Passo 3

(b) Gráfico da densidade de probabilidade
A densidade é
rho(x) = |Psi(x,0)|^2 = 1a, & x0 < x < x0+a, 0, & caso contrário á
Ou seja, é um retângulo de altura entre e , zero fora. É gráfico fácil: uma “caixinha” reta entre esses pontos.

Passo 4

© Valor médio lang<= xrang<= = integral-infty^infty x,|Psi|^2 dx = integralx0^x0+a x ,1a,dx e incerteza 1al[tfracx^22r]x0^x0+a = 1al(tfrac(x0+a)^2 - x0^22r) = 1al(tfracx0^2+2x0a + a^2 - x0^22r) = x0 + a2
  1. Valor médio
lang<= x^2rang<= = integralx0^x0+a x^2,1a,dx = 1al[tfracx^33r]x0^x0+a = (x0+a)^3 - x0^33a
Essa integral é
lang<= x^2rang<= = 3x0^2a + 3x0a^2 + a^33a = x0^2 + x0 a + a^23
  1. Cálculo de (De
(De
Expandindo De, dá
  1. Incerteza
Como , então
Logo

Resposta

(a) .
(b) é retângulo de altura entre e , zero fora.
©

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