Considere os campos vetoriais seguintes
  • \vec{F}=(x, y, 0).
  • Desenhe o campo
  • Calcule a divergencia
  • Consedere o campo electico \vec{E}=\frac{E_{0}}{d}(x, y, 0). O que pode se dizer do meio, ele é neutro eletricamente ou carregado?
  • O campo \vec{B}=\frac{B_{0}}{d}(x, y, 0) pode representar um campo magnetico real?

Passo 1

O enunciado trata de campos vetoriais em \mathbb{R}^3, mais especificamente de \vec{F}(x,y,0)=(x,y,0), e pede para:
  1. desenhar o campo;
  2. calcular \nabla\cdot\vec{F};
  3. analisar, via Gauss, o campo elétrico \vec{E}=\frac{E_{0}}{d}(x,y,0) e dizer se o meio é neutro ou não;
  4. verificar se \vec{B}=\frac{B_{0}}{d}(x,y,0) pode ser um campo magnético real (i.e.\ compatível com Maxwell).

Passo 2

Para desenhar \vec{F}(x,y,0)=(x,y,0) note que em cada ponto (x,y) a seta aponta radialmente para fora da origem e sua magnitude é \sqrt{x^2+y^2}.
Isto gera um padrão de setas saindo da origem, cada vez mais longas à medida que \sqrt{x^2+y^2} cresce.

Passo 3

Calcular a divergência de
\vec{F}(x,y,0)=(x,y,0).
Usando \nabla\cdot\vec{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x) + \frac{\partial}{\partial y}(y) + \frac{\partial}{\partial z}(0), temos
\nabla\cdot\vec{F} = 1 + 1 + 0 = 2.

Passo 4

Pelo teorema de Gauss (lei de Maxwell para \vec{E}),
\nabla\cdot\vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_{0}}.
Aqui \vec{E}=\frac{E_{0}}{d}(x,y,0) tem \nabla\cdot\vec{E} = \frac{E_{0}}{d}\,(\nabla\cdot(x,y,0)) = \frac{E_{0}}{d}\cdot 2.
Logo
\rho = \varepsilon_{0}\,\nabla\cdot\vec{E} = 2\,\varepsilon_{0}\,\frac{E_{0}}{d}\neq 0,
ou seja, o meio está eletricamente carregado.

Passo 5

Para um campo magnético real vale sempre
\nabla\cdot\vec{B} = 0.
Mas para \vec{B}=\frac{B_{0}}{d}(x,y,0) teríamos
\nabla\cdot\vec{B} = \frac{B_{0}}{d}\,(\nabla\cdot(x,y,0)) = 2\,\frac{B_{0}}{d}\neq 0
(salvo B_{0}=0). Isso violaria \nabla\cdot\vec{B}=0, logo não pode ser um campo magnético real.

Resposta

(i) O campo \vec{F} é radial e aponta para fora da origem, com magnitude proporcional à distância.
(ii) \nabla\cdot\vec{F}=2.
(iii) Pelo teorema de Gauss, \rho=2\,\varepsilon_{0}E_{0}/d\neq0; o meio está carregado.
(iv) Não, pois violaria \nabla\cdot\vec{B}=0, obrigatório para campos magnéticos reais.

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