Para um campo \vec{F}=P \vec{i}+Q_{\text {J }} de classe C^{1}, definido em \mathbb{R}^{2} e \operatorname{com} \operatorname{rot}(\vec{F})=\overrightarrow{0}, temos as seguintes fórmulas para calcular uma função potencial para \vec{F} :
(1) f(x, y)=\int_{x_{0}}^{x} P(t, y) d t+\int_{y_{0}}^{y}\left(Q(x, t)-\int_{x_{0}}^{x} \frac{\partial P(s, t)}{\partial y} d s\right) d t
(2) f(x, y)=\int_{0}^{1}[P(x t, y t) x+Q(x t, y t) y] d t
(3) f(x, y)=\int_{x_{0}}^{x} P(t, y) d t+\int_{y_{0}}^{y} Q\left(x_{0}, t\right) d t
Verifique que o campo \vec{F} dado a seguir é irrotacional e calcule uma função potencial para \vec{F} usando as três fórmulas dadas acima.
\vec{F}(x, y)=(3+2 x y) \vec{i}+\left(x^{2}-3 y^{2}\right) \vec{j}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \vec{F}(x,y)=P(x,y)\,\vec{i}+Q(x,y)\,\vec{j} com
P(x,y)=3+2xy,\quad Q(x,y)=x^2-3y^2
e informa que \operatorname{rot}\vec{F}=0. O objetivo é verificar essa nulidade de curl e, em seguida, obter uma função potencial f(x,y) usando cada uma das fórmulas (1), (2) e (3). O conteúdo envolvido é Cálculo Vetorial: campos conservativos e potenciais.

Passo 2

Calculamos
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x^2-3y^2)=2x, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(3+2xy)=2x.
Logo
\operatorname{rot}\vec{F}=\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2x-2x=0,
ou seja, \vec{F} é realmente irrotacional.

Passo 3

Usando a fórmula (1) com o ponto de referência (x_0,y_0)=(0,0):
f(x,y) =\int_{0}^{x}P(t,y)\,dt +\int_{0}^{y}\Bigl(Q(x,t)-\int_{0}^{x}\frac{\partial P}{\partial y}(s,t)\,ds\Bigr)\,dt.
Temos
\int_{0}^{x}P(t,y)\,dt =\int_{0}^{x}(3+2ty)\,dt =3x+x^2y,
\int_{0}^{x}\frac{\partial P}{\partial y}(s,t)\,ds =\int_{0}^{x}2s\,ds =x^2,
Q(x,t)-\int_{0}^{x}\frac{\partial P}{\partial y}(s,t)\,ds =(x^2-3t^2)-x^2=-3t^2,
\int_{0}^{y}(-3t^2)\,dt=-y^3.
Assim
f(x,y)=3x+x^2y-y^3.

Passo 4

Usando a fórmula (2):
f(x,y)=\int_{0}^{1}\bigl[P(xt,yt)\,x+Q(xt,yt)\,y\bigr]dt.
Calculamos
P(xt,yt)=3+2xyt^2,\quad Q(xt,yt)=x^2t^2-3y^2t^2,
P(xt,yt)\,x+Q(xt,yt)\,y =3x+2x^2y\,t^2+x^2y\,t^2-3y^3\,t^2 =3x+3x^2y\,t^2-3y^3\,t^2.
Logo
f(x,y) =\int_{0}^{1}\bigl(3x+3x^2y\,t^2-3y^3\,t^2\bigr)dt =3x+3x^2y\frac{1}{3}-3y^3\frac{1}{3} =3x+x^2y-y^3.

Passo 5

Usando a fórmula (3) com (x_0,y_0)=(0,0):
f(x,y) =\int_{0}^{x}P(t,y)\,dt+\int_{0}^{y}Q(0,t)\,dt.
Já computamos \int_{0}^{x}P(t,y)\,dt=3x+x^2y. E
Q(0,t)=0^2-3t^2=-3t^2, \quad \int_{0}^{y}(-3t^2)\,dt=-y^3.
Portanto
f(x,y)=3x+x^2y-y^3.

Resposta

Em todos os três casos a função potencial (à constante aditiva C próxima) é
f(x,y)=3x+x^2y-y^3 + C.

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