Um campo de velocidade bidimensional é dado por:
O escoamento é incompressível? Mostre.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a gente tem um campo de velocidade 2D:
O assunto aqui é “escoamento incompressível”, que em fluidos significa que a densidade não varia ao longo do espaço. Em termos matemáticos, a gente checa se a divergência do campo de velocidade é zero. Para isso, precisamos lembrar da definição:
onde
é a componente em
e
é a componente em
.
Passo 2
Primeiro, identifica as componentes:
u(x,y) = 1 + 2{,}5,x + y
v(x,y) = -0{,}5 - 1{,}5,x - 2{,}5,y
u(x,y) = 1 + 2{,}5,x + y
v(x,y) = -0{,}5 - 1{,}5,x - 2{,}5,y
Passo 3
Calcular
.
Como , derivando em relação a
a constante some e o
é tratado como constante, então:
Como
Passo 4
Calcular
.
Como , derivando em relação a
a parte em
e a constante somem, sobrando:
Como
Passo 5
Agora somamos as duas derivadas pra achar a divergência:
Se a divergência é zero em todo ponto do plano, significa que o escoamento não “concentra” nem “dilui” massa em nenhum lugar: é incompressível.
Resposta
Sim, o escoamento é incompressível, pois
.