Um campo de velocidade bidimensional é dado por:
stackrel1V=(1+2,5 x+y) i^1+(-0,5-1,5 x-2,5 y) stackrel1j
O escoamento é incompressível? Mostre.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um campo de velocidade 2D:
V(x,y) = l(1 + 2,5,x + yr),i ;+;l(-0,5 - 1,5,x - 2,5,yr),j
O assunto aqui é “escoamento incompressível”, que em fluidos significa que a densidade não varia ao longo do espaço. Em termos matemáticos, a gente checa se a divergência do campo de velocidade é zero. Para isso, precisamos lembrar da definição:
div,V = partial upartial x + partial vpartial y,
onde é a componente em e é a componente em .

Passo 2

Primeiro, identifica as componentes:
u(x,y) = 1 + 2{,}5,x + y
v(x,y) = -0{,}5 - 1{,}5,x - 2{,}5,y

Passo 3

Calcular partial upartial x = 2,5 .
Como , derivando em relação a a constante some e o é tratado como constante, então:

Passo 4

Calcular partial vpartial y = -2,5 .
Como , derivando em relação a a parte em e a constante somem, sobrando:

Passo 5

Agora somamos as duas derivadas pra achar a divergência:
div,V = partial upartial x + partial vpartial y = 2,5 + (-2,5) = 0
Se a divergência é zero em todo ponto do plano, significa que o escoamento não “concentra” nem “dilui” massa em nenhum lugar: é incompressível.

Resposta

Sim, o escoamento é incompressível, pois .

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