Considere o seguinte campo de velocidade estacionário e bidimensional:
stackrel1V=(1.1+2.8 x+0.65 y))^1+(0.98-2.1 x-2.8 y)^1 j
Determine:
a) O campo de aceleração;
b) Taxas de translação, rotação, deformação linear e de deformação por cisalhamento;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão é de Mecânica dos Fluidos, mais especificamente de cinemática de um escoamento bidimensional e estacionário.
Enunciado resumido:
• Temos o campo de velocidades
V(x,y)=l(u(x,y),,v(x,y)r) =(1.1+2.8,x+0.65,y), i ;+;(0.98-2.1,x-2.8,y), j
• (a) Pedem o campo de aceleração a=( Vcdotnabla), V .
• (b) Pedem as taxas de:
– translação,
– rotação,
– deformação linear (normais),
– deformação por cisalhamento.
O que vamos usar:
  1. Num escoamento estacionário, a aceleração num ponto é puramente convectiva:
  1. Para as taxas cinemáticas, precisamos do gradiente de velocidade , cujos componentes são , , etc.
  2. A partir desse tensor, extraímos:
    • Translação = o próprio vetor (velocidade do centro do elemento),
    • Rotação = metade da vorticidade ,
    • Deformação linear (normais) = ,
    • Deformação por cisalhamento = .

Passo 2

Para ax = u,partial upartial x+v,partial upartial y, ay = u,partial vpartial x+v,partial vpartial y usamos
partial upartial x=2.8, partial upartial y=0.65, partial vpartial x=-2.1, partial vpartial y=-2.8
Primeiro, anota as derivadas que não dependem de =2.8,(1.1+2.8x+0.65y)+0.65,(0.98-2.1x-2.8y) =3.717 +6.475,x +0cdot y :
ax =3.717 +6.475,x
Agora:
a) =-2.1(1.1+2.8x+0.65y)-2.8(0.98-2.1x-2.8y) =-5.054 +0cdot x +6.475,y
ay =-5.054 +6.475,y
Então
b)
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Passo 3

O tensor gradiente é
[
\nabla\mathbf V =
nabla V = partial u/partial x & partial u/partial y[6pt] partial v/partial x & partial v/partial y = 2.8 & 0.65 -2.1 & -2.8

V(x,y)=(1.1+2.8x+0.65y,;0.98-2.1x-2.8y) .
]
– Taxa de translação de um elemento de fluido = velocidade do seu centro =

Passo 4

A rotação local (meia-vorticidade) no plano omegaz ;=;12l(partial vpartial x-partial upartial yr) =12l(-2.1-0.65r) =-1.375s^-1 é

Passo 5

  1. Deformação normal (linear):
dotvarepsilonx=partial upartial x=2.8;s^-1, dotvarepsilony=partial vpartial y=-2.8;s^-1
  1. Deformação por cisalhamento (taxa de variação do ângulo reto):
dotgamma =partial upartial y+partial vpartial x =0.65 +(-2.1) =-1.45;s^-1

Resposta

(a) Campo de aceleração:
boxed a(x,y) =l(3.717 +6.475,xr), i ;+;l(-5.054 +6.475,yr), j
(b) Taxas cinemáticas:
• Translação: .
• Rotação:
• Deformação linear:
• Deformação por cisalhamento:

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