ESCOLHA A QUESTÃO 1 OU A QUESTÃO 2 - FAZER APENAS UMA! Questão 1: Uma esfera de aço macio de 15 mm de diâmetro, inicialmente a , é exposta a uma corrente de ar a com coeficiente de conveç̧ão de 120 .K. Calcule :
(i) O tempo necessário para arrefecer a esfera até .
(ii) (ii) A taxa inicial de arrefecimento .
(iii) (iii) Taxa instantânea de transferência de calor no final de um minuto após o início do arrefecimento.
Passo 1
Beleza, o problema pede o resfriamento por convecção de uma esfera de aço (diâmetro mm) que sai a C e vai para um ar a C com coeficiente de convecção W/m²·K. A matéria é transferência de calor – mais especificamente o modelo de capacitância (lumped capacitance), que a gente usa quando a resistência interna por condução é pequena comparada à da convecção. Vamos precisar:
Calcular o número de Biot () pra ver se dá pra usar esse modelo.
Achar a constante de tempo do decaimento exponencial do resfriamento.
A partir daí resolver cada item: tempo até C, taxa inicial de resfriamento e potência trocada após 1 minuto.
Passo 2
Primeiro verificamos se o modelo lumped vale, ou seja, , com comprimento característico para esfera.
Raio m.
m.
Então tudo certo: temperatura na esfera é uniforme, e vale o modelo de capacitância.
Passo 3
No modelo lumped a equação da temperatura é
onde
Para esfera: , , então e
Substituindo kg/m³, J/kg·K, m, W/m²·K:
Passo 4
(i) Tempo até C.
Diferença inicial K.
Queremos K.
Da equação:$$\frac{\Delta T}{\Delta T_0} = e^{-t/\tau} \quad\Longrightarrow\quadt = -\tau,\ln!\Bigl(\frac{75}{600}\Bigr) = \tau,\ln(8),. $$
- Logo s (cerca de 2,7 min).
Passo 5
(ii) Taxa inicial de resfriamento em .
Derivando :
- Em :
Passo 6
(iii) Taxa instantânea de transferência de calor depois de 1 minuto (t=60,s).
Primeiro a diferença de temperatura:De
- Área da esfera A=4pi R^2approx 4pi(0,0075)^2approx 7,07times10^-4,m^2
- Então potência por convecção:
$$\dot Q(60) = h,A,\Delta T(60)= 120 \times 7{,}07\times10^{-4}\times276{,}6\approx 23{,}5\ \mathrm{W},. $$
Resposta
(i) tapprox161,s (2,7 min)
(ii) ldT/dtr|0approx -7,74;^circC/s
(iii) dot Q(60s)approx23,5,W