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(2,00) Questão 1: Uma esfera de aço macio de 15 mm de diâmetro, inicialmente a 625^circ C, é exposta a uma corrente de ar a 25^circ C com coeficiente de conveç̧ão de 120 W / m^2.K. Calcule :
(i) O tempo necessário para arrefecer a esfera até 100^circ C.
(ii) (ii) A taxa inicial de arrefecimento em ^circ C / s.
(iii) (iii) Taxa instantânea de transferência de calor no final de um minuto após o início do arrefecimento.
ll k=43 W / m cdot K, & rho=7850 kg / m^3, C=474 J / kg cdot K, & alpha=0.045 m^2 / s

Passo 1

Beleza, o problema pede o resfriamento por convecção de uma esfera de aço (diâmetro D=15,mm) que sai a 625,^circC e vai para um ar a 25,^circC com coeficiente de convecção h=120,W/m²·K. A matéria é transferência de calor – mais especificamente o modelo de capacitância (lumped capacitance), que a gente usa quando a resistência interna por condução é pequena comparada à da convecção. Vamos precisar:
  • Calcular o número de Biot ( Bi) pra ver se dá pra usar esse modelo.
  • Achar a constante de tempo tau do decaimento exponencial do resfriamento.
  • A partir daí resolver cada item: tempo até 100,^circC, taxa inicial de resfriamento e potência trocada após 1 minuto.

Passo 2

Primeiro verificamos se o modelo lumped vale, ou seja, Bi = dfrach,Lck < 0,1, com comprimento característico Lc = V/A = R/3 para esfera.
  • Raio R = D/2 = 0,015/2 = 0,0075,m.
  • Lc = R/3 = 0,0075/3 = 0,0025,m.
  • Bi = h,Lck = 120 times 0,002543 approx 0,0070 ;<;0,1
    Então tudo certo: temperatura na esfera é uniforme, e vale o modelo de capacitância.

Passo 3

No modelo lumped a equação da temperatura é
T(t)-Tinfty = l(T0 - Tinftyr),exp!l(-t/taur)
onde
tau = rho C Vh A ,
Para esfera: V = tfrac43pi R^3, A = 4pi R^2, então A/V = 3/R e
tau = rho,Ch,(A/V) = rho,C,R3,h,
Substituindo rho=7850,kg/m³, C=474,J/kg·K, R=0,0075,m, h=120,W/m²·K:
tau = 7850 times 474 times 0,00753 times 120 approx 77,5 s,

Passo 4

(i) Tempo até T=100,^circC.
  • Diferença inicial DeK.
  • Queremos DeK.
  • Da equação:$$\frac{\Delta T}{\Delta T_0} = e^{-t/\tau} \quad\Longrightarrow\quadt = -\tau,\ln!\Bigl(\frac{75}{600}\Bigr) = \tau,\ln(8),. $$
    - Logo Des (cerca de 2,7 min).

Passo 5

(ii) Taxa inicial de resfriamento dT/dt em t=0.
  • Derivando T(t)-Tinfty = De: dTdt = -De
    - Em t=0:
    ldTdtr|0 = -60077,5approx -7,74;^circC/s,

Passo 6

(iii) Taxa instantânea de transferência de calor depois de 1 minuto ( t=60,s).
  • Primeiro a diferença de temperatura: De
    - Área da esfera A=4pi R^2approx 4pi(0,0075)^2approx 7,07times10^-4,m^2
    - Então potência por convecção:
    $$\dot Q(60) = h,A,\Delta T(60)= 120 \times 7{,}07\times10^{-4}\times276{,}6\approx 23{,}5\ \mathrm{W},. $$

Resposta

(i) tapprox161,s (2,7 min)
(ii) ldT/dtr|0approx -7,74;^circC/s
(iii) dot Q(60s)approx23,5,W

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